原來輔助線還可以這樣作

余天澤

在前幾天的作業(yè)中，有這樣一道題：如圖1，點P是△ABC的邊BC上一點，PC=2PB，∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度數(shù)。

在解這道題目的時候，我首先想到作輔助線。考慮到45°和60°是兩個特殊角，我就想過點A作AD⊥BC于點D，將45°角和60°角放在直角三角形中，構(gòu)造一個等腰直角三角形和一個含30°角的直角三角形，然而并沒有解決這道問題。我又考慮取特殊值，令BP=1，求得AD=[3+32]，CD=[3-32]，發(fā)現(xiàn)∠ACB的大小根本不是30°、45°、60°，感覺沒有任何思路。于是，我又想延長BC，過點A來作AB的垂線，同樣將45°角和60°角放在直角三角形中，還是沒能解決問題。

第二天上午，我向數(shù)學老師請教。老師首先表揚了我，因為我看到45°、60°這些特殊角，能夠想到構(gòu)造直角三角形。然后老師又說，在解決數(shù)學問題的時候，當一條路走不通時，要換思路來解決。老師引導我做了一個基本圖形，讓我明白75°可以拆成30°和45°。有了老師的提示，我仔細想了想，然后過點C作AP的垂線段，∠PCD正好是30°，而∠ACB果真是75°。

解答過程：過點C作CD⊥DP于點D，連接BD?！摺螦PC=60°，CD⊥AP，∴CP=2DP，∵PC=2PB，∴DP=PB?！唷螪BP=∠BDP=30°，∴∠ABC

=45°，∴∠ABD=15°，∵∠APC=60°，∠ABC=45°，∴∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DPC+∠DCB=90°，∴∠DBP=∠DCP=30°?！郆D=CD，∴AD=CD，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=75°。

通過這道題的解答，我明白了在解答數(shù)學題目的時候，如果多次嘗試一種方法仍舊不能解決問題，就要及時調(diào)整思路。另外，要畫出基本圖形，學會猜想，猜想之后再驗證自己的猜想是否正確。