圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)

●

(杭州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023)

圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)

●顏美玲

(杭州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 浙江杭州 310023)

文獻(xiàn)[1]介紹了關(guān)于圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)如下：

定理1如圖1，過(guò)橢圓的非對(duì)稱軸的弦PQ的中點(diǎn)O′作2條與PQ不重合的弦AB，CD,過(guò)點(diǎn)A,B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C,D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)N,則MN∥PQ.

筆者借助幾何畫(huà)板研究，發(fā)現(xiàn)在圓錐曲線中相交弦的有關(guān)性質(zhì)，下面一一介紹.

思考1定理1中“O′為弦PQ的中點(diǎn)”的條件可否一般化？

經(jīng)過(guò)筆者研究，知該條件無(wú)法一般化，但可以得到進(jìn)一步的結(jié)論：

圖1

性質(zhì)1如圖1,PQ是橢圓的非對(duì)稱軸的弦,O′為弦PQ上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O′作2條與PQ不重合的弦AB，CD,過(guò)點(diǎn)A,B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C,D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)N,則MN∥PQ成立的充要條件是O′為弦PQ的中點(diǎn).

證明“充分性”的證明可見(jiàn)文獻(xiàn)[1].下面證明“必要性”.

圖2

從而

λ=1或x7y8-x8y7=0.

此時(shí)，若λ=1，顯然O′為弦PQ的中點(diǎn).若x7y8-x8y7=0，如圖2可得Rt△OPE∽R(shí)t△OFQ,則∠POE=∠FOQ,因此點(diǎn)P,O,Q共線,此時(shí)點(diǎn)O′即為點(diǎn)O.

思考2過(guò)橢圓2條相交弦端點(diǎn)的4條切線是否具有其他優(yōu)美的性質(zhì)？

圖3

性質(zhì)2如圖3,若弦AB,CD相交于橢圓內(nèi)一點(diǎn)O′,過(guò)點(diǎn)A,D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)B,C分別作橢圓的切線交于點(diǎn)S,則點(diǎn)R,O′,S共線.

分析雖然條件仍是過(guò)2條相交弦端點(diǎn)的4條切線,但文獻(xiàn)[1]的方法已不適用.若設(shè)點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)，要求出點(diǎn)O′的坐標(biāo)計(jì)算太復(fù)雜,于是筆者考慮能否用其他方法證明,發(fā)現(xiàn)可利用如下引理獲得.

引理設(shè)直線l1,l2的方程分別為

A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,

l1,l2相交于點(diǎn)P,直線l3的方程為

A3x+B3y+C3=0(AiBi≠0,i=1,2,3).

若存在實(shí)數(shù)λ1,λ2，使得

λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=A3x+B3y+C3,

則l3也過(guò)點(diǎn)P.

證明設(shè)直線l1,l2交于P(x0,y0),則

A1x0+B1y0+C1=0,A2x0+B2y0+C2=0,

于是A3x0+B3y0+C3=0,即l3過(guò)點(diǎn)P.

下面證明性質(zhì)2.

證明設(shè)A(acosθ,bsinθ),B(acosφ,bsinφ),C(acosγ,bsinγ),D(acosα,bsinα),則直線CS,BS的方程分別為

聯(lián)立方程組解得

同理可得

則直線AB,CD,RS的方程分別為

根據(jù)三角公式,可將方程(1),(2),(3)分別化為

接著尋找是否存在實(shí)數(shù)λ1,λ2,使得

(4)

同理可證

注在性質(zhì)2中,若弦AB,CD相交于橢圓外(或上)一點(diǎn)O′,則點(diǎn)R,O′,S也共線.

思考3雙曲線或拋物線也有類似的性質(zhì)嗎？

性質(zhì)3如圖4,雙曲線的弦AB,CD相交于點(diǎn)O′,過(guò)點(diǎn)A,D分別作雙曲線的切線交于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)B,C分別作雙曲線的切線交于點(diǎn)S,則點(diǎn)R,O′,S共線.

證明類似于橢圓中的情形(略).

圖4 圖5

性質(zhì)4如圖5,拋物線的弦AB,CD相交于點(diǎn)O′,過(guò)點(diǎn)A,D分別作拋物線的切線交于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)B,C分別作拋物線的切線交于點(diǎn)S,則點(diǎn)R,O′,S共線.

聯(lián)立方程組解得

xS=2pt2t3,yS=p(t2+t3)，

同理可得

xR=2pt1t4,yR=p(t1+t4),

則直線AB,CD,RS的方程分別為

分別整理式(6),(7),(8)，得

令λ=t3-t4,l=t2-t1,可得

成立,因此點(diǎn)R,O′,S共線.

綜合性質(zhì)2～4可得圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一的性質(zhì)：

定理2圓錐曲線的弦AB,CD相交于點(diǎn)O′,過(guò)點(diǎn)A,D分別作圓錐曲線的切線交于點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)B,C分別作圓錐曲線的切線交于點(diǎn)S,則點(diǎn)R,O′,S共線.

[1] 張俊.圓錐曲線的一個(gè)優(yōu)美性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊,2012(6):23-24.