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    探究一道中考題的解法

    2019-06-25 03:49:06筅江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校李玉榮
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年10期
    關(guān)鍵詞:易知延長線輔助線

    筅江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

    題目:(2018·武漢)如圖1,在△ABC中,∠ABC=90°,P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=∠C,tan∠PAC=,求tan∠C的值.

    圖1

    圖2

    嘗試一:如圖2,作PD⊥AC于點(diǎn)D.

    解題陷入困境.

    嘗試二:如圖3,作CD⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)D……

    與嘗試一類似,陷入困境.

    圖3

    圖4

    嘗試三:上述兩次嘗試是學(xué)生最容易想到的輔助線,遺憾的是未能求解,同時(shí)添加這兩條輔助線如何呢?

    解法1:如圖4,作PD⊥AC于點(diǎn)D,作CE⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)E.因?yàn)閠an∠PAC=,所以可設(shè)PD=2k,AD=

    根據(jù)勾股定理,得PA=3k.

    易知∠PCE=∠BAP=∠PCD,所以PE=PD=2k.

    所以AE=PA+PE=5k.

    嘗試四:將嘗試一中的DP延長與AB的延長線相交如何?

    解法2:如圖5,作PD⊥AC于點(diǎn)D,延長DP、AB交于點(diǎn)E.

    根據(jù)勾股定理,得PA=3k.

    易知∠PEB=∠C=∠BAP,所以PE=PA=3k.

    所以DE=PD+PE=5k.

    嘗試五:將嘗試二中的CD延長與AB的延長線相交如何?

    圖5

    圖6

    解法3:如圖6,作CD⊥AP交AP的延長線于點(diǎn)D,延長CD、AB交于點(diǎn)E.

    根據(jù)勾股定理,得AC=3k.

    易知∠BCE=∠BAP=∠ACB.又CB⊥AB,所以CE=AC=3k,所以DE=CE-CD=k.

    嘗試六:將嘗試一中的DP⊥AC改為PD⊥AP如何?

    解法4:如圖7,過點(diǎn)P作PD⊥AP交AC于點(diǎn)D.

    圖7

    根據(jù)勾股定理,得AD=3k.

    易知∠DPC=90°-∠APB=∠BAP=∠C.

    所以CD=PD=2k,所以AC=AD+CD=5k.

    嘗試七:將嘗試二中的CD⊥AP改為CD⊥AC如何?

    解法5:如圖8,過點(diǎn)C作CD⊥AC交AP的延長線于點(diǎn)D.

    根據(jù)勾股定理,得AD=3k.

    易知∠DPC=∠APB=90°-∠PAB=90°-∠ACB=∠DCP.

    所以PD=CD=2k,所以PA=AD-PD=k.

    圖8

    嘗試八:過點(diǎn)B作BD⊥AP于點(diǎn)D如何?

    解法6:如圖9,過點(diǎn)B作BD⊥AP于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)M.

    易知∠MBC=∠BAP=∠C,所以BM=CM=AM.

    根據(jù)勾股定理,得AM=3k,

    所以BM=3k,BD=BM-DM=k.

    嘗試九:過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D如何?

    圖9

    圖10

    解法7:如圖10,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,交AP于點(diǎn)M.

    易知∠MBA=∠C=∠BAP,所以BM=AM=PM.

    根據(jù)勾股定理,得AM=3k,BD=DM+BM=5k.

    嘗試十:在Rt△ABP中,以P為頂點(diǎn),PB為一邊構(gòu)造一個(gè)角等于∠PAC如何?

    解法8:如圖11,以P為頂點(diǎn),PB為一邊作∠BPD=∠PAC,PD交AB于點(diǎn)D.

    因?yàn)椤螦PB=∠BPD+∠APD=∠PAC+∠C,所以∠APD=∠C=∠BAP,所以PD=AD.

    根據(jù)勾股定理,得PD=3k,AB=AD+BD=5k.

    嘗試十一:在Rt△ABC中,以A為頂點(diǎn),AB為一邊構(gòu)造一個(gè)角等于∠PAC如何?

    圖11

    圖12

    解法9:如圖12,以A為頂點(diǎn),AB為一邊作∠BAD=∠PAC,AD交BC于點(diǎn)D.

    則∠DAC=∠BAP=∠C,所以CD=AD.

    根據(jù)勾股定理,得AD=3k,BC=CD+BD=5k.

    解題不可能是一帆風(fēng)順的,需要解題者在失敗中重新嘗試,在嘗試中調(diào)整思路,逐步走向成功.挖掘中考試題的教學(xué)功能是一個(gè)重要的研討主題,解題教學(xué)的著力點(diǎn)一定要落在學(xué)法指導(dǎo)(教會(huì)學(xué)生怎么想)和能力培養(yǎng)(如轉(zhuǎn)化能力和遷移能力)上,“教什么”“怎樣教”“教會(huì)什么”是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師研究的永恒話題.

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