旋轉(zhuǎn)變換貫通思路，同類呈現(xiàn)加深理解
——從兩道較難考題的思路說起

筅江蘇省江陰市華士實驗中學(xué) 趙丹農(nóng)

最近筆者在某校八、九年級兩份階段試卷看到兩道本質(zhì)類似的考題，都需要通過旋轉(zhuǎn)變換進行思路突破，實現(xiàn)解決.但是在一些解題研究的QQ群里，有不少老師仍然在求助解法，筆者感覺有必要做些關(guān)聯(lián)式講評，于是將這兩道習(xí)題設(shè)計成同類習(xí)題微教學(xué)，在班級講評之后，取得了較好的效果.本文先給出這兩道較難習(xí)題的思路分析，再跟進教學(xué)微設(shè)計及教學(xué)立意的解讀，供研討.

一、兩道較難考題的思路解析

考題1：（某校八年級下學(xué)期階段檢測卷，填空較難題）如圖1，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE=CB，連接AE，以AE為腰、A為頂角的頂點作等腰Rt△ADE，連接CD，當(dāng)CD最大時，∠DEC= .

圖1

圖2

思路1：如圖2，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AEC1，點D、E重合，點C對應(yīng)著C1，連接CC1（或以A為頂點，AC為直角邊，在AC的下方作等腰直角△ACC1）.

則△ADC △AEC1.則CD=EC1，AC=AC1.

在△ECC1中，EC1＜EC+CC1.則只有當(dāng)E、C、C1共線時，EC1的值最大，即CD最大.

由AC=AC1，得∠ACC1=45°，則∠ACE=135°.

由點C為線段AB的中點，得CA=CB.又CE=CB，則CE=CA.則∠AEC=22.5°.

在等腰Rt△ADE中，∠AED=45°.則∠DEC=67.5°.

思路2：如圖3，將△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE1（點E與點D對應(yīng)），連接CE1（或以A為頂點，AC為直角邊，在AC的上方作等腰直角△ACE1）.

圖3

則△AEC △ADE1.則AC=AE1，∠AEC=∠ADE1.在△DCE1中，CD＜CE1+DE1.

則只有當(dāng)D、C、E1三點共線時，CD最大.

由AC=AE1，得∠AE1C=45°，則∠AE1D=135°.

由點C為線段AB的中點，得CA=CB.又CE=CB.則CE=CA.則DE1=AE1.則∠ADE1=∠AEC=22.5°.又等腰Rt△ADE中，∠AED=45°，則∠DEC=67.5°.

考題2：（某校九年級下學(xué)期階段檢測卷，填空較難題）如圖4，P是半圓O上一點，Q是半徑OA的延長線上一點，AQ=OA=1，以PQ為斜邊作等腰直角三角形PQR，連接OR，則線段OR的最大值為 .

圖4

圖5

思路1：如圖5，將△ROQ繞R點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△RO1P，連接PO、RO1、OO1、OP（或以R為頂點，RO為直角邊，在RO的上方作等腰直角△ROO1）.

在△POO1中，OO1＜PO+PO1.則只有當(dāng)P、O、O1三點共線時，OO1最大.

由△ROO1為等腰直角三角形，得OR=

此時，OO1=PO+PO1=1+2=3.

思路2：如圖6，將△ROP繞R點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△RQO1，連接PO、RO1、OO1、QO1（或以R為頂點，RO為直角邊，在RO的下方作等腰直角△ROO1）.

圖6

則△ROP △RO1Q，則QO1=OP=1.

在△QOO1中，OO1＜QO+QO1.則只有當(dāng)Q、O、O1三點共線時，OO1最大.

由△ROO1為等腰直角三角形，得OR=

此時，OO1=QO+QO1=2+1=3.則OR=

二、同類習(xí)題的微教學(xué)設(shè)計

問題1：如圖7，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BE、DC.

（1）探究CD、BE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

（2）連接CE，求證：線段AC、CE的長度之和不小于CD的長.

設(shè)計意圖：先以兩個共頂點的等腰直角三角形的一道經(jīng)典習(xí)題訓(xùn)練學(xué)生，為后續(xù)研究提供思路上的啟示.

圖7

問題2：如圖1，點C為線段AB的中點，E為直線AB上方的一點，且滿足CE=CB，連接AE，以AE為腰、A為頂角的頂點作等腰Rt△ADE，連接CD.

（1）求證CD≤AC+CE；

（2）當(dāng)CD最大時，求∠DEC的度數(shù).

設(shè)計意圖：考慮到與問題1保持一定的連續(xù)性，在上文“考題1”基礎(chǔ)上，設(shè)計了鋪墊式問題，講評時注意啟發(fā)學(xué)生不同的旋轉(zhuǎn)變換的解法（如上文中兩種思路）.

問題3：如圖4，P是半圓O上一點，Q是半徑OA的延長線上一點，AQ=OA=1，以PQ為斜邊作等腰直角三角形PQR，連接OR，探究線段OR的最大值.

設(shè)計意圖：問題3直接使用“考題2”，不預(yù)設(shè)鋪墊，安排學(xué)生挑戰(zhàn)難題，而且有兩種不同的旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，教學(xué)時注意啟發(fā)學(xué)生從不同的角度進行構(gòu)圖、推理.

三、關(guān)于同類習(xí)題的教學(xué)思考

1.重視跨年級研究習(xí)題，收集“關(guān)聯(lián)”習(xí)題

教師在各自年級任教時往往眼之所及都是本年級的習(xí)題，特別是有些教師多年任教同一年級，往往缺少對其他年級習(xí)題的關(guān)注.我們認為，教師研究解題不能囿于任教年級，因為習(xí)題的結(jié)構(gòu)或解題策略有時會在不同年級的習(xí)題中得到體現(xiàn)，如果教師能跨年級研究習(xí)題、收集“關(guān)聯(lián)”習(xí)題，并將問題變式、拓展，對于開闊學(xué)生眼界、啟發(fā)學(xué)生打開思路是十分重要的.

2.要精選“關(guān)聯(lián)”習(xí)題，預(yù)設(shè)同類習(xí)題教學(xué)

教師注意跨年級研究習(xí)題之后，將收集到的“關(guān)聯(lián)”習(xí)題進行恰當(dāng)?shù)闹亟M，在備課選題時加強同類習(xí)題的鏈接與變式，以題組呈現(xiàn)的方式開展解題教學(xué)，往往能取得較好的解題教學(xué)效果，并且能促進學(xué)生識別同類問題，對相同結(jié)構(gòu)問題的理解走向深入.像上文兩道較難題，如果孤立地在八年級時練過一次，到九年級時學(xué)生再遇到很容易遺忘，從而找不到思路，這時如果能鏈接式講評，八年級的學(xué)生印象就會很深.也許有老師說，學(xué)生在八年級時還不宜超前接觸有關(guān)圓的習(xí)題，講了是不是超標教學(xué)、超前教學(xué)？事實上并不是這樣的，因為考題2本質(zhì)上并不涉及圓的更多性質(zhì)，只是利用圓的半徑相等這個簡單性質(zhì)，小學(xué)生都知道.

3.難題求解要一題多解，教學(xué)時要多題歸一

教師在研究習(xí)題解法時，針對難題求解要追求一題多解，盡可能從不同角度突破思路，并且思考哪種解法是最簡單、最自然、最初等的解法（倡導(dǎo)回到核心概念去解題），這樣在解題教學(xué)時就能駕馭不同的教學(xué)生成，因為學(xué)生的解法可能會多種多樣，如果教師課前沒有深入思考可能的解法與思路，教學(xué)現(xiàn)場對有些獨特的解法進行準確理解和恰當(dāng)評析就會有很大的挑戰(zhàn)，有時就容易聽不清、想不明，造成誤判，或評價“不作為”.當(dāng)然，作為教師，在較難題的多解之后，還可引導(dǎo)學(xué)生加強解后反思與回顧，思考“殊途何以同歸”，即多解歸一，這樣可以有效達成學(xué)生解一題、會一類的效果.