立足基本思路，引領(lǐng)思路突破*
——一道“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題的解法及變式探究

筅寧夏中衛(wèi)市沙坡頭區(qū)宣和鎮(zhèn)張洪學(xué)校 張 寧

一、試題呈現(xiàn)

試題：（第25屆 “希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第1試第20題）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，以正方形的邊BC為斜邊在正方形內(nèi)作Rt△BCE，∠BEC=90°.若CE=3，BE=5，則△OBE的面積是______.

從考查的知識(shí)點(diǎn)來看，本題以學(xué)生非常熟悉的正方形和直角三角形為基本圖形，主要考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的條件與性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》規(guī)定的最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容，因此，本題突出了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查.從核心素養(yǎng)角度看，本題主要考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的素養(yǎng).本題的圖形和條件簡(jiǎn)潔、明了，乍看之下感覺無從入手，經(jīng)過反復(fù)思考，筆者發(fā)現(xiàn)本題韻味十足.從圖形結(jié)構(gòu)入手，立足三角形面積的基本求法，引領(lǐng)解題思路得以自然突破，從而得到了意想不到的收獲.

二、基本思路

思路1：利用三角形的面積計(jì)算公式直接求解.

公式1：在△ABC中，設(shè)∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，三邊上的高分別為ha、hb、hc，則S△ABC=aha=

公式2：在△ABC中，設(shè)∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則S△ABC=ab sin C=ca sin B=bc sin A.

公式3：如圖2，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高（h）”.由公式1易得S△ABC=ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

思路2：借助其他圖形的面積間接求解.

可考慮借助其他圖形的面積間接求解，這是一種常用的解題思路.

圖2

圖3

三、解法探究

基于三角形的面積計(jì)算公式1，本題有如下四種解法.

解法1：如圖3，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為K.易知∠BOC=∠BEC=90°，所以點(diǎn)B、O、E、C在⊙K上.

由圓的性質(zhì)，易知∠OEB=∠OCB=45°.過點(diǎn)O作OF⊥BE，垂足為F，則OF=EF.

令OF=x，則EF=x，BF=5-x.

易知OB2=（BE2+CE2）=17.

在Rt△BOF中，x2+（5-x）2=17，解得x1=1，x2=4（不合題意，舍去）.

所以S△OBE=BE·OF=×5×1=

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)已知BE=5，欲求△OBE的面積，只需求得BE邊上的高即可，故需過點(diǎn)O作OF⊥BE，則OF是BE邊上的高，利用勾股定理易求得OF=1.這種解法立足于三角形的面積計(jì)算公式，求解思路自然、順暢，通俗易懂，是求三角形面積的常用方法之一.

解法2：如圖4，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為K.易知∠BOC=∠BEC=90°，所以點(diǎn)B、O、E、C在⊙K上.過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F.由圓的性質(zhì)易知∠DOE=∠BCE.

在Rt△BEF中，x2+姨2=52，即解得x1=（不合題意，舍去）.

所以S△OBE=OB·EF=×

圖4

圖5

解法3：如圖5，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為K.易知∠BOC=∠BEC=90°，所以點(diǎn)B、O、E、C在⊙K上.分別過點(diǎn)B、C作OE的垂線，垂足分別為F、G.由圓的性質(zhì)易知∠BEF=∠CEG=45°.

所以S△OBE=OE·BF=

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)圖形的特征，△BOC是等腰直角三角形，因此易聯(lián)想到構(gòu)造勾股定理“總統(tǒng)證法”中的幾何圖形.這種解法通俗易懂，簡(jiǎn)潔明了，充分體現(xiàn)了“觀察—聯(lián)想—轉(zhuǎn)化”的求解思路，凸顯了幾何模型在解題中的重要作用，正所謂“心中有模型，解法自然來”.這種解法與前兩種解法相比，運(yùn)算量較小，過程更簡(jiǎn)潔，是一種非常優(yōu)美的求解方法.

解法4：如圖6，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CE所在直線為x軸，以BE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.BD與x軸相交于點(diǎn)F，AD與x軸相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為H.

圖6

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-3）.

因?yàn)辄c(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O的坐標(biāo)為（1，1）.

從而可知點(diǎn)O到BE的距離為1，所以S△OBE=×5×1=

點(diǎn)評(píng)：由解法1～3可以看出，求△OBE的面積的關(guān)鍵是求出△OBE某邊上的高，即△OBE的某一頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果已知某點(diǎn)的坐標(biāo)，那么容易得到這個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，因此可考慮利用解析法求解本題.解析法是利用代數(shù)方法解決幾何問題的一種重要方法.對(duì)于正方形、等腰三角形、直角三角形等幾何圖形，經(jīng)過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，即可得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線的表達(dá)式，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后利用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題.解析法求解本題的不足之處是運(yùn)算量較大，求解過程比較煩瑣，但也是求解問題的一種方法.

基于三角形的面積計(jì)算公式2，本題有如下兩種解法.

解法5：如圖7，設(shè)AC與BE相交于點(diǎn)F.

圖7

在Rt△BOF中，x2+（）2=△2，即（4x-（x+4）=0，解得x1=，x=-42（不合題意，舍去）.所以CF=OC-OF=，BF=

所以S△OBE=OE·BE·sin45°=××5×

解法6：如圖7，由解法5易知OB=，BF=，OF=所以sin∠OBE=

所以S△OBE=OB·BE·sin∠OBE=××5×

點(diǎn)評(píng)：若三角形中已知兩邊，且易求得這兩邊的夾角的正弦，則可考慮利用三角形的面積計(jì)算公式2求解，這也是求三角形面積的常用方法.求三角形內(nèi)角的正弦值時(shí)，需構(gòu)造直角三角形，因此以上兩種解法的運(yùn)算量較大，求解過程較為煩瑣.

從教師的角度出發(fā)，有更簡(jiǎn)潔的方法.

解法7：如圖7，令∠BCE=α，∠ACE=β，則β=α-45°.

所以sinβ=sin （α-45°）=sinαcos45°-cosαsin45°=

易知B、O、E、C四點(diǎn)共圓，所以sin∠OBE=sinβ=

所以S△OBE=OB·BE·sin∠OBE=

基于三角形的面積計(jì)算公式3，本題有如下解法.

解法8：如圖8，過點(diǎn)E作EH⊥BC，過點(diǎn)O作OG⊥BC，垂足分別為H、G，OG交BE于點(diǎn)F.

由S△BCE=BC·EH=BE·CE，易知EH=

圖8

故S△OBE=S△OBF+S△OEF=OF·BG+OF·GH=OF·（BG+GH）=OF·BH=

點(diǎn)評(píng)：公式3是一個(gè)非常有用的公式，特別是在直角坐標(biāo)系中求三角形面積時(shí)具有神奇功效，能夠極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.

基于思路2，本題有如下兩種解法.

解法9：如圖9，連接DE，延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG⊥CD，垂足為G.

圖9

所以S△EDC=CD·EG=

所以S△OBE=S△EBD=（S△BCD-S△EDC-S△BCE）=

點(diǎn)評(píng)：本題中，△BOE的面積不易直接求得，因此，考慮借助其他圖形的面積間接求解，這里借助△BCD、△EDC、△BCE等特殊三角形的面積，間接求得了△BOE的面積，這是一種常用的解題思路.

解法10：如圖10，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△E′BC.

易知S△OBE=S△ODE，四邊形BE′CE是直角梯形，CE′=CE=3.

圖10

所以S梯形BE′CE=（CE′+BE）·CE=12.

所以S△OBE=S△EBD=（S△BCD-S梯形BE′CE）=（17-12）=

點(diǎn)評(píng)：這種解法借助圖形的旋轉(zhuǎn)變換，將△OBE的面積問題轉(zhuǎn)化為直角梯形BE′CE和直角△BCD的面積問題，求解過程簡(jiǎn)潔、明了，運(yùn)算量小，是一種極為簡(jiǎn)潔的求解方法，它是本題的最優(yōu)解法.筆者認(rèn)為，這種解法來源于對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的深刻認(rèn)識(shí)，而對(duì)圖形特征的深刻認(rèn)識(shí)是基于解法1～9的求解過程，雖然有些解法比較煩瑣甚至愚鈍，但它們有利于激活解題思路，提高幾何推理能力.

四、變式探究

變式：如圖11，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，以正方形的邊BC為斜邊在正方形外作Rt△BCE，∠BEC=90°，若CE=3，BE=5，則△OBE的面積是______.

圖11

限于篇幅，解答從略，請(qǐng)有興趣的讀者自行解答.

五、結(jié)束語

關(guān)注最基礎(chǔ)、最核心的知識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)，并明確提出了十個(gè)關(guān)鍵詞，即數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，馬云鵬教授認(rèn)為這就是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.首都師范大學(xué)的王尚志教授曾指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”這六大核心素養(yǎng).推理能力是數(shù)學(xué)思維能力的重要組成部分，幾何推理是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體.本題所涉及的勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的條件與性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)點(diǎn)都是初中平面幾何教學(xué)中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容.在本題求解過程中，三角形的面積計(jì)算公式引領(lǐng)著解題思路，實(shí)現(xiàn)了從“無從入手”到“一題多解”.通過這樣的解題活動(dòng)，能使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高幾何推理能力.