一道幾何題的拓展與延伸

陜西省西安市第八中學(xué)(710001) 王公民

思維是數(shù)學(xué)之體操,尤其解幾何題,對(duì)已知條件的拓展、延伸,得出不同的結(jié)論,變中有不變,不變中有變,繼承發(fā)展,多姿多彩,深刻的反映了幾何圖形的本質(zhì)屬性,以一道幾何題的探究為例.

原題已知等腰Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,EF 是過點(diǎn)C 的直線,AE⊥EF,BF⊥EF 垂足分別為E、F,試問線段EF 與AE、BF 之間有什么等量關(guān)系? 為什么?

圖1

答: EF =AE+BF.

理 由: 因 為∠ACB = 90°, ∠ECF = 180°, 所 以∠BCF + ∠ACE = 90°.因 為∠AEC = 90°, 所 以∠EAC +∠ACE = 90°, 所以∠EAC = ∠BCF.因?yàn)樵凇鰽EC 和△CFB 中, ∠AEC = ∠CFB = 90°, ∠EAC =∠BCF, AC = BC, 所以△AEC△CFB (AAS), 所以AE =CF,EC =BF,所以EF =EC+CF =AE+BF,即EF =AE+BF.

拓展1直線EF 過點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)變形.

(1)原題中的直線EF 過點(diǎn)C 改為“直線EF 過點(diǎn)C,且繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使0°＜∠BCF ＜45°其它條件不變,如圖2,試問線段EF 與AE、BF 有什等量關(guān)系? 為什么?

圖2

答: EF =AE-BF.

(2)原題中的直線EF 過點(diǎn)C,改為“直線EF 過點(diǎn)C,且繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使45°＜∠FCB ＜90°”,其它條件不變,試問線段EF 與AE、BF 有什么等量關(guān)系? 為什么?

圖3

答: EF =BF -AE.

理由同(1)略.

(3)原題中的直線EF 過點(diǎn)C 改為“直線EF 過點(diǎn)C,且繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使∠FCB = 45°”,其它條件不變,如圖4,則易見點(diǎn)E、F 重合,這時(shí)EF =0,AE =BF.

圖4

拓展2△ABC 的形狀發(fā)生變化.

(1)原題可改為“在等邊△ABC 中, 直線EF 過點(diǎn)C,∠AEC = ∠CFB = 60°,如圖5,試問線段EF 與AE、BF還有EF =AE+BF 等量關(guān)系嗎? 為什么?

圖5

答: EF =AE+BF.

理由: 因?yàn)椤鰽BC 是等邊三角形, 所以AC =BC,ACB = 60°.因?yàn)椤螮CF = 180°, 所以∠BCF +∠ACE = 120°.因?yàn)椤螦EC = 60°, 所以∠EAC +∠ACE =120°,所以∠EAC =∠BCF.因?yàn)樵凇鰽EC 和△CFB 中, ∠AEC =∠CFB, ∠EAC = ∠BCF, AC = BC, 所以△AEC ￤△CFB (AAS), 所以EC = BF, AE = CF, 所以EF =EC +CF =AE+BF,即: EF =AE+BF.

(2)原題可改為“在△ABC 中, AC = BC, 直線EF過點(diǎn)C, 且∠AEC = ∠CFB = ∠ACB, 如圖6, 試問EF =AE+BF 仍成立嗎? 為什么?

圖6

答: EF =AE+BF.

理由: 因?yàn)椤螮CF = 180°, 所以∠BCF = 180°-(∠ACE + ∠ACB).因?yàn)椤螮AC = 180°- (∠ACE +∠AEC), 因?yàn)椤螦EC = ∠ACB, 所以∠EAC = ∠BCF.因?yàn)樵凇鰽EC 和△CFB 中,∠AEC = ∠CFB,∠EAC =∠BCF, AC = BC, 所以△AEC△CFB(AAS), 所以AE =CF,EC =BF,所以EF =EC+CF =AE+BF,即: EF =AE =BF.(3)原題僅改為“直線EF 過△ABC 的頂點(diǎn)C, 且∠AEC =∠CFB =∠ACB.如圖7 求證:

圖7

證明: 因?yàn)橄嗤瑘D6, 易證∠EAC = ∠BCF.又因?yàn)椤螦EC = ∠CFB,所以△AEC ∽△CFB,則成立,特別地,若則△AEC△CFB 這時(shí)與圖6 是相同問題.