三角形重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用

廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)(519100) 陳水松

一、三角形四心的表述與性質(zhì)

(一)重心——三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心將中線長(zhǎng)度分成2: 1 的兩部分.

證法1設(shè)O(x,y), A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3),是△ABC 的重心.

證法2如圖1,因?yàn)樗运訟、O、D 三點(diǎn)共線, 且O 分AD 為2:1,所以O(shè) 是△ABC 的重心.

圖1

2.若O 是△ABC 的重心, 則S△BOC= S△AOC=

證明由所以(反之也然)故O 為△ABC 的重心.

(二)垂心——三角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.

證明如圖2 所示H 是三角形ABC 的垂心, BE 垂直AC,AD 垂直BC,D、E 是垂足.同理為△ABC 的垂心.

圖2

(三)內(nèi)心——三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,即三角形內(nèi)切圓圓心.

?O 為△ABC 的內(nèi)心.

?O 為△ABC 的內(nèi)心.

證 明因 為所 以所 以所以

證明因?yàn)镺 為△ABC 的內(nèi)心, 故所以

(四)外心——三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心,即三角形外接圓圓心.

2.若O 是△ABC 的外心, 則S△BOC: S△AOC:S△AOB= sin ∠BOC : sin ∠AOC : sin ∠AOB = sin 2A :sin 2B :sin 2C.

證明設(shè)△ABC 外接圓半徑為R, 則S△BOC=, S△AOC=sin ∠AOC, S△AOB=又∠BOC = 2A,∠AOC = 2B,∠AOB =2C, 所 以S△BOC: S△AOC : S△AOB = sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB =sin 2A:sin 2B :sin 2C.

二、應(yīng)用舉例

例1 O 是平面上一定點(diǎn),A、B、C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P 滿足λ ∈[0,+∞),則點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC 的( )

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析如圖3 所示△ABC,D、E 分別為邊BC、AC 的中點(diǎn).因?yàn)樗砸驗(yàn)樗运运渣c(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC 的重心,即選C.

圖3

例2O 是平面上一定點(diǎn), A、B、C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)P 滿足λ ∈[0,+∞),則點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC 的( )

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析因?yàn)榉謩e為方向上的單位向量,所以平分∠BAC,所以點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC 的內(nèi)心,即選B.

例 3O 是 平 面 上 一 定 點(diǎn), A、B、C 是 平 面上不共線的三個(gè)點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)P 滿足λ ∈[0,+∞), 則點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC 的( )

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析如圖4 所示AD 垂直BC,BE 垂直AC,D、E 是垂足.所以點(diǎn)P 的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心,即選D.

圖4

例4(2018 ·重慶三模)已知點(diǎn)I 為△ABC 的內(nèi)心,AC = 2, BC = 3, AB = 4, 若則x+y =____.

解析因?yàn)辄c(diǎn)I 為△ABC 的內(nèi)心, 所以其中O 為任一點(diǎn), a,b,c 為三角形三邊.因此所以

例5(2016 ·福州質(zhì)檢)在△ABC 中, BC = 2,A = 45°, B 為銳角, 點(diǎn)O 是△ABC 外接圓的圓心, 則的取值范圍是( )

解析由題意得取BC 的中點(diǎn)D,連接OD,AD,則OD⊥BC,所以= 4 sin2C -4 sin2B = 2 cos 2B-2 cos 2C = 2 cos 2B - 2 cos(270°- 2B)= 2 cos 2B +2 sin 2B =又45°＜2B+45°＜225°,所以所以即選A.

例6(2016·四川卷)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D 滿足-2,動(dòng)點(diǎn)P,M 滿足則的最大值是( )

解法1由題意,因?yàn)樗訢 到A,B,C 三點(diǎn)的距離相等,D 是△ABC 的外心.所以DB⊥AC.同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,從而D 是△ABC 的垂心,所以△ABC 的外心與垂心重合,因此△ABC 是正三角形,且D是△ABC 的中心,所以所 以 正 三 角形ABC 的邊長(zhǎng)為以A 為原點(diǎn)建立如圖5 所示的平面直角坐標(biāo)系, 則由設(shè)P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos θ,sin θ), 其中θ ∈[0,2π).由可知M 是PC 的中點(diǎn), 所以M 的坐標(biāo)為則當(dāng)時(shí),取得最大值

圖5

解法2由可知D 為△ABC 的外心, 再根據(jù)得∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 120°, 于是△ABC為正三角形, 且邊長(zhǎng)為設(shè)AC 的中點(diǎn)為T, 則由條件知所以當(dāng)且僅當(dāng)即同向時(shí)等號(hào)成立.

例7點(diǎn)O 在△ABC 內(nèi)部且滿足則△ABC 面積與△AOC 面積之比是____.

解 法1取BC、AC 中 點(diǎn)D、E, 連OD、OE, 因?yàn)樗?2)+ (1)×2 得所以共線,且所以S△COE= 2S△COD, 所以S△COA=所以S△ABC:S△AOC=3:1.

解法2延長(zhǎng)OB 至D, 使OB = BD; 延長(zhǎng)OC 至E, 使CE = 2OC.則2OB = OD, 3OC = OE.因?yàn)樗設(shè)為△ADE 的重心, 所以所以S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB =S△ADE+=所以S△ABC:S△AOC ==3:1.

三、拓展延伸

1.(2018·皖江八校5 月聯(lián)考)已知A,B,C 為圓O 上的三點(diǎn),若圓O 的半徑為2,則( )

A.-1 B.-2 C.1 D.2

2.(2018 ·唐山三模)在△ABC 中, 點(diǎn)G 滿足若 存 在 點(diǎn)O, 使 得且則m-n=( )

A.2 B.-2 C.1 D.-1

3.(2018 ·揚(yáng)州四模)在△ABC 中, AH 是底邊BC上的高, 點(diǎn)G 是三角形的重心, 若AB = 2, AC = 4,∠BAH =30°,則

4.(2018·濟(jì)南二模)已知△ABC 中,AB =4,AC =5,點(diǎn)O 為△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn), 滿足則=____.