基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題的賞析與思考

廣東省東莞市萬(wàn)江中學(xué)(523057) 袁建釗

廣東省東莞市第七高級(jí)中學(xué)(523500) 譚文艷

1、引言

在我國(guó), 早在2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》,明確指出要體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的文化價(jià)值,強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)”[1].2016年頒布的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》首次非常正式地明確要求要把數(shù)學(xué)文化滲透入數(shù)學(xué)試題.2017年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中談到,數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容,數(shù)學(xué)文化融入整個(gè)課程的結(jié)構(gòu)里面[2].隨著課程改革的不斷深入,數(shù)學(xué)的人文價(jià)值更明顯地凸顯出來(lái),已普遍受到重視.

縱觀最近幾年的全國(guó)各地的高考,出現(xiàn)了一些以數(shù)學(xué)史為載體的高考試題,成為新課改理念下高考改革和發(fā)展的一道靚麗風(fēng)景.尤其是全國(guó)卷,已經(jīng)連續(xù)多年命制此類考題,逐漸形成了高考數(shù)學(xué)卷的一大特色和亮點(diǎn).如2018年全國(guó)卷3 第3 題以優(yōu)秀的中華木土文化為背景, 以榫卯為載體, 從更高的要求和不同的角度,考查考生的空間想象能力和空間圖形的轉(zhuǎn)化能力;理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷1 第10 題以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)曾研究過(guò)的圖形為背景,設(shè)計(jì)了一個(gè)幾何概型問(wèn)題,引導(dǎo)考生熱愛(ài)數(shù)學(xué)文化,關(guān)注幾何之美.這一方面是為師生在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)史提供“導(dǎo)向”,另一方面數(shù)學(xué)史作為一種數(shù)學(xué)文化走進(jìn)高考,讓高考試卷平添了幾分文化色彩與氣息.

2、試題檢索

筆者查閱了近年來(lái)全國(guó)卷的高考數(shù)學(xué)試卷后發(fā)現(xiàn): 幾乎每年都會(huì)出現(xiàn)與數(shù)學(xué)史相關(guān)的試題,涉及數(shù)學(xué)史內(nèi)容極為豐富, 如古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底的幾何圖形、“哥德巴赫猜想”、“秦九韶算法”、“太極圖”、《算法統(tǒng)宗》等(見(jiàn)表1),它們?nèi)谥R(shí)、方法、思想、能力、素質(zhì)于一體,背景新穎,內(nèi)涵深刻, 富有新意, 使數(shù)學(xué)的文化性、應(yīng)用性與理論性有機(jī)結(jié)合,相互滲透,有目的地來(lái)考查考生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

表1 近年來(lái)全國(guó)卷中基于數(shù)學(xué)史的高考試題

3、試題賞析

現(xiàn)遴選幾道基于數(shù)學(xué)史的高考試題供廣大師生賞析:

例1(2018 全國(guó)卷1 理10)下圖(圖1)來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC 的斜邊BC,直角邊AB,AC,△ABC 的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自I,II,III 的概率分別記為p1,p2,p3,則( )

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

圖1

賞析此題以古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)曾研究過(guò)的圖形為背景, 設(shè)計(jì)了一個(gè)幾何概型問(wèn)題,引導(dǎo)考生熱愛(ài)數(shù)學(xué)文化,關(guān)注幾何之美.面積大小是關(guān)鍵,翻開(kāi)初中八年級(jí)上數(shù)學(xué)課本我們發(fā)現(xiàn), 原來(lái)源頭在勾股定理,以直角三角形三邊分別往外作正方形,大正方形的面積等于兩小正方面積之和.此題同樣如此,大的半圓面積等于兩個(gè)小半圓面積之和,可知兩區(qū)域面積相同.學(xué)生要解答必須有一點(diǎn)數(shù)學(xué)素養(yǎng),在高中學(xué)習(xí)階段,這樣的幾何題很少涉及,很多同學(xué)早就把勾股定理忘記了,進(jìn)一步凸顯在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的意義.

例2(2018 全國(guó)卷3 文3 理3)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫棒頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( )

圖2

賞析這個(gè)問(wèn)題以優(yōu)秀的中華木土文化為背景,以古建筑中的榫卯為載體,結(jié)合立體幾何三視圖基礎(chǔ),從更高的要求和不同的角度,考查考生的空間想象能力和空間圖形的轉(zhuǎn)化能力.這樣設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生體會(huì)到我們古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數(shù)學(xué)要關(guān)注生產(chǎn)、生活等社會(huì)問(wèn)題,引導(dǎo)師生了解數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在認(rèn)識(shí)世界中的工具作用.

例3(2017 全國(guó)卷2 理3)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈? ”意思是: 一座7 層塔共掛了381 盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )

A.1 盞 B.3 盞 C.5 盞 D.9 盞

賞析此題從古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》引入,然后通過(guò)詩(shī)歌提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,考察等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),先利用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式求出首項(xiàng),然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求第7 項(xiàng).本來(lái)一個(gè)非常簡(jiǎn)單的等比數(shù)列問(wèn)題,在數(shù)學(xué)史背景的襯托之下,具有一定人文特色,這種基于數(shù)學(xué)史的高考試題,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力也有較高的要求,這將引領(lǐng)師生在數(shù)學(xué)教與學(xué)活動(dòng)中更多地關(guān)注數(shù)學(xué)史等元素.

例4(2016 全國(guó)卷2 理8)中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x = 2,n = 2,依次輸入的a 為2,2,5,則輸出的s=( )

A.7 B.12 C.17 D.34

圖3

賞析秦九韶是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的杰出代表之一,其《數(shù)書(shū)九章》概括了宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的主要成就.其中的秦九韶算法是一種將一元n 次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n 個(gè)一次式的算法,大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程,即使在現(xiàn)代,利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問(wèn)題時(shí),秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法,大大提高了計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度.本題以秦九韶算法為歷史背景,不僅可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歷史文化,形成理性思維,同時(shí)也能學(xué)生感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就,增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷.

4、思考

不難發(fā)現(xiàn),基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題常與概率、立體幾何、數(shù)列、算法等知識(shí)有關(guān),解題的關(guān)鍵是將數(shù)學(xué)史背景下的條件轉(zhuǎn)化為高中數(shù)學(xué)知識(shí),考察考生的閱讀理解能力、抽象概況能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力,既體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用性的考察,也體現(xiàn)了我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng).因此,挖掘高考試題中的數(shù)學(xué)史背景,并有效應(yīng)用于教學(xué),是將數(shù)學(xué)史和高中數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合的有效途徑.具體思考如下:

4.1 為新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)改革添磚加瓦

基于數(shù)學(xué)史的高考數(shù)學(xué)試題,素材新穎、構(gòu)思精巧、立意高遠(yuǎn)、視角獨(dú)特、導(dǎo)向鮮明等特點(diǎn)都充分體現(xiàn)了新課改的理念.高考試題中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)史的深意,絕不是單純要“秀”幾道題這么簡(jiǎn)單, 中學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)新課改的影響,為此教學(xué)中應(yīng)該重視教學(xué)史的教學(xué)與反思,使數(shù)學(xué)史的應(yīng)用深入到學(xué)生的認(rèn)知層面,這樣做不僅可以啟發(fā)學(xué)生思維,幫助學(xué)生掌握學(xué)科體系,而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí).可以預(yù)見(jiàn),數(shù)學(xué)史是一座有待開(kāi)發(fā)的寶山,有待于我們從多角度多方位進(jìn)一步開(kāi)發(fā),進(jìn)而引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式的改變,為新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)改革添磚加瓦.

4.2 重視數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)過(guò)程,利于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行科學(xué)評(píng)價(jià)

高考試卷中出現(xiàn)基于數(shù)學(xué)史的題目,有利于我們更好地評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).目前為止,對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)依然是以高考成績(jī)?yōu)橹?過(guò)去我們一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值,但是考試卻從來(lái)不會(huì)考,也不知道如何去考.但是,現(xiàn)在的高考試卷數(shù)學(xué)史部分恰恰考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)人文素養(yǎng),這是對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的大膽創(chuàng)新,符合新課程改革的精神與方案.這樣能夠?qū)W(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作出了全面與綜合的評(píng)價(jià),是值得肯定與推廣的.

4.3 重視教材中的數(shù)學(xué)史材料,讓數(shù)學(xué)史與日常教學(xué)有機(jī)融合

張奠宙教授指出:“數(shù)學(xué)史必須走進(jìn)課堂,在實(shí)際教學(xué)中使得學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中真正感受到文化感染,產(chǎn)生文化共鳴,體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品味和人情味.”目前,數(shù)學(xué)史已經(jīng)進(jìn)入中學(xué)生的數(shù)學(xué)教材,高中教材中涉及的數(shù)學(xué)史的總量比較多,內(nèi)容比較豐富,并且和數(shù)學(xué)的基本知識(shí)聯(lián)系緊密,一共設(shè)計(jì)了46 個(gè)數(shù)學(xué)史,具體分布如表2 所示.

表2 數(shù)學(xué)史在各必修教材中的分布[4]

可以看出新課程在教材編排上滲透了大量與學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)史的內(nèi)容,內(nèi)容覆蓋面相對(duì)以往的教材來(lái)說(shuō)更加廣泛,更有利于教師進(jìn)一步發(fā)掘教材,加工教材,從而增加數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的趣味性,為激發(fā)學(xué)生的興趣提供了新的契機(jī),同時(shí)也提醒我們?cè)谖磥?lái)中學(xué)數(shù)學(xué)教師日常的教學(xué)過(guò)程中要更加注重?cái)?shù)學(xué)史的滲透,做到有機(jī)融合,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)科學(xué),更是一種文化,同時(shí),數(shù)學(xué)史的知識(shí)同中學(xué)數(shù)學(xué)教育相結(jié)合可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)取得事半功倍的效果.

5、結(jié)束語(yǔ)

基于數(shù)學(xué)史的高考試題不同于一般的應(yīng)用試題,其由數(shù)學(xué)史背景引出,而不依賴該背景,需要借助高中所學(xué)知識(shí)去解決,這類試題的出現(xiàn),增加了數(shù)學(xué)應(yīng)用題的形式,豐富了數(shù)學(xué)應(yīng)用題的價(jià)值取向.因此,在數(shù)學(xué)史中尋找命題背景是當(dāng)前高考題命制者比較推崇之處.值得我們的關(guān)注.