解題反思四部曲,提升數(shù)學(xué)思維能力

廣東省梅州市五華縣田家炳中學(xué)(514400) 葉東輝

關(guān)鍵字 解題反思;解題能力;數(shù)學(xué)思維能力

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在“怎樣解題”表中給出解題過程的四個(gè)步驟: 弄清問題——擬訂計(jì)劃——實(shí)施計(jì)劃——回顧,其中的“回顧”即是數(shù)學(xué)問題解決過程中的反思.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中也明確提出了“自主探索”、“反思構(gòu)建”等與反思密切相關(guān)的目標(biāo)和要求.解題反思是從一個(gè)新的角度,多層次對(duì)問題進(jìn)行分析和思考,從而深化對(duì)問題的理解, 優(yōu)化解題思路, 探索一般規(guī)律和通性通法, 歸納升華,促進(jìn)知識(shí)的遷移,尋求新的發(fā)現(xiàn).筆者認(rèn)為通過以下“解題反思四部曲”不僅能提高學(xué)生的解題能力,同時(shí)達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新發(fā)展能力的目標(biāo).

一、解題反思第一部曲: 反思解題的思維過程、論證過程,提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

反思解題的數(shù)學(xué)思維過程包括分析、綜合、比較、概括判斷和推理等基本過程.反思解題過程,就是對(duì)整個(gè)解題過程進(jìn)行全面的檢查: 條件是否充分,轉(zhuǎn)化是否等價(jià),是否合乎邏輯,計(jì)算是否有誤.如解應(yīng)用題得到“需要0.8 個(gè)人”,求出面積、長(zhǎng)度為負(fù)數(shù)等這樣的結(jié)果,就不難判斷出解題有誤,需要檢查列式或者計(jì)算是否有錯(cuò)或者某一步轉(zhuǎn)化的條件不滿足.

例1求函數(shù)的值域.

解題反思

提問1: 甲同學(xué)做對(duì)了嗎? 同學(xué)們議論紛紛,有的認(rèn)為對(duì),有的認(rèn)為不對(duì).

提問2: 基本不等式在取等號(hào)的時(shí)候應(yīng)注意什么?

同學(xué)們: 兩個(gè)數(shù)相等時(shí)才能取等號(hào).

師引導(dǎo): 在學(xué)習(xí)基本不等式前,我們求函數(shù)的值域、最值用什么方法呢?

同學(xué)們: 利用函數(shù)的單調(diào)性.

例2設(shè)P 是雙曲線上一點(diǎn),F1、F2分別是雙曲線左右兩個(gè)焦點(diǎn),若|PF1|=9,求|PF2|的長(zhǎng).

引導(dǎo)學(xué)生反思回顧, 就會(huì)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是忽略了題目中的隱蔽條件: |PF2|的長(zhǎng)度最小值應(yīng)為c-a = 2,所以|PF2|≥2,即|PF2|只能等于17.

通過對(duì)解題過程和結(jié)果的反思,發(fā)現(xiàn)解題過程中存在的問題,使學(xué)生加深了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的理解,完善了解題的思維過程,更重要的是促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、論證的思維習(xí)慣,不隨意套取公式、定理、結(jié)論武斷地得出結(jié)果,克服思維的片面性,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)縝密的思維品質(zhì).

二、解題反思第二部曲: 反思一題多解,激活思維,拓展解題途徑和思維廣度.

例3 已知定點(diǎn)C 的坐標(biāo)是(2,2), 過點(diǎn)C 的直線CA與x 軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)C 且與直線CA 垂直的直線CB 與y軸交于B 點(diǎn).設(shè)點(diǎn)M 是線段AB 的中點(diǎn),求點(diǎn)M 的軌跡方程.

思路分析尋求動(dòng)點(diǎn)M 滿足的條件,并把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x,y 的等量關(guān)系,是解題的關(guān)鍵,注意到CB⊥CA,容易聯(lián)想到兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系,對(duì)斜率不存在的情況補(bǔ)充說明.

解設(shè)M(x,y), 則A(2x,0), B(0,2y), 當(dāng)x /= 1 時(shí),因?yàn)镃A⊥CB, 所以kCA· kCB= -1, 所 以化簡(jiǎn)得:x+y-2=0(*).又當(dāng)x=1 時(shí),CA⊥Ox 軸,得M(1,1),它滿足(*)式.所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

解題反思上述解法應(yīng)用平面解析幾何中兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系解題.

引導(dǎo)思考1: 因?yàn)镃A⊥CB,所以△ABC 是Rt△,斜邊是AB,且M 是AB 的中點(diǎn),同學(xué)們能聯(lián)想到在Rt△中,斜邊上的中線可建立的等量關(guān)系?

同學(xué)甲: Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半.

于是我們得到解法2:

解連結(jié)CM, 在Rt△ABC 中, M 是 斜邊AB 的中點(diǎn), 所以即化簡(jiǎn)得: x + y - 2 = 0, 所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

引導(dǎo)思考2: 垂直關(guān)系除了斜率之積等于-1,還可以建立什么等式?

同學(xué)乙: 在平面向量中,兩向量垂直時(shí)它們的數(shù)量積為0,且可以省去對(duì)斜率的討論!

解法3因?yàn)樗运?2x-2,-2)·(-2,2y-2)= 0, 化簡(jiǎn)得: x + y - 2 = 0, 所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

通過對(duì)本題的一題多解,可以總結(jié)出幾何中垂直關(guān)系可以考慮建立的多個(gè)等式,根據(jù)條件擇優(yōu)使用,達(dá)到快速剖析題意,建立方程的效果.本題還可以引導(dǎo)學(xué)生從垂直關(guān)系類比平行關(guān)系,總結(jié)平行關(guān)系所涉及的各種等量關(guān)系.

引導(dǎo)學(xué)生反思一題多解,點(diǎn)燃思維的火花,從多角度探尋解法,開拓思路,勾通知識(shí),掌握規(guī)律,優(yōu)化解法,在更多維度更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié),拓寬了解題的途徑和思維的廣度.

三、解題反思第三部曲: 反思多題一解,探求通性通法,提高歸納概括的數(shù)學(xué)思維能力.

在解題實(shí)踐中,我們會(huì)經(jīng)常遇到一些類似的、相近的題目,如果能夠把它們放在一起進(jìn)行分析、比較,就能發(fā)現(xiàn)題目和解題的方法存在某些的共同特點(diǎn),從而可以探求出通性通法,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納、概括、提煉,然后再指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q的類似問題.發(fā)揮多題一解的優(yōu)勢(shì), 使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律化、條理化,那么學(xué)習(xí)能達(dá)到事半功倍的效果,思維也得到了提升和發(fā)展.

例4如圖1, 點(diǎn)P 是△ABC 的外心, 且則=______.

思路分析本題的解法有很多種,比如可以利用特殊位置法,假設(shè)外心點(diǎn)P 在BC 上,然后利用兩個(gè)向量數(shù)量積的定義就可求解.如果能把非垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系,利用數(shù)量積的幾何意義,則能輕松解決.

圖1

圖2

解取弦AC 的中點(diǎn)E,弦AB 的中點(diǎn)F.則

例5如圖3, O,A,B 是平面上的三點(diǎn), 向量設(shè)P 為線段AB 的垂直平分線CP 上任意一點(diǎn),向量若|a|=3,|b|=1,則p·(b-a)=( )

A.2 B.4 C.-2 D.-4

圖3

思路分析利用“垂直平分”的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為數(shù)量積.因?yàn)樗?-4.

例6如圖4,在△ABC 中,已知AB = 4,AC = 2,點(diǎn)H,O 分別是△ABC 的垂心和外心,則=____.

圖4

思路分析連結(jié)AO、AH,則根據(jù)前例即可解得.

解題反思對(duì)以上三例進(jìn)行反思,透過“現(xiàn)象”尋求“本質(zhì)”,可以發(fā)現(xiàn)這類問題的共同解題思路是: 非垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系,垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積.多題一解,歸納概括出通性通法,不僅使解題能力實(shí)現(xiàn)從量到質(zhì)的飛躍,而且使數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力得到提升和發(fā)展.

四、解題反思第四部曲:反思解題的數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì).

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度抽象和概括,它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中.恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法能化抽象為直觀、變繁雜為簡(jiǎn)易、轉(zhuǎn)曲折為捷徑,體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解題中的強(qiáng)大威力.當(dāng)學(xué)生能自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題時(shí),那么他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì)就得到了很大提高.

例7求橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離.

解法一設(shè)直線x+2y+c=0與橢圓相切于點(diǎn)P,聯(lián)立得:8y2+4cy+c2?16=0,由?=16c2?4×8×(c2?16)=0,得:結(jié)合圖形可知,當(dāng)直線與該橢圓相切于點(diǎn)P時(shí),點(diǎn)P到直線的距離最大,此距離等于兩條平行直線與之間的距離,故

解法二設(shè)橢圓上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4cosθ,2sinθ),則點(diǎn)P到直線的距離d=因?yàn)樗詃max=所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值為

解題反思解法一對(duì)點(diǎn)P設(shè)而不求,把點(diǎn)P到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩條平行直線之間的距離,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.解法二利用了參數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于諸如動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)關(guān)系不易找出時(shí),可引入?yún)?shù),三角換元,利用三角等價(jià)變形求最值.

反思研究問題所運(yùn)用的思想方法,加深對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和理解,總結(jié)使用數(shù)學(xué)思想方法的規(guī)律和技巧,促進(jìn)學(xué)生在解題時(shí)自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì),這也是數(shù)學(xué)教育的目的之一.

結(jié)語高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)就是悟,是善于反思.如果學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中獲得正確答案就終止,不進(jìn)行回顧和反思,那么學(xué)習(xí)就停留在經(jīng)驗(yàn)水平,事倍功半;如果經(jīng)常運(yùn)用解題反思“四部曲”,總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)或失敗的教訓(xùn),不僅能有效加強(qiáng)對(duì)知識(shí)、技能的深化理解,而且有利于訓(xùn)練思維,促進(jìn)知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化,提高學(xué)習(xí)效率,促進(jìn)學(xué)生的思維在更高的層次上概括、綜合、融會(huì)貫通,進(jìn)入理性認(rèn)識(shí)階段.