燃化歸思想之火,升數(shù)學(xué)素養(yǎng)之華

廣東省中山市東升初級(jí)中學(xué)(528414) 胡俊

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出:“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.當(dāng)今和未來(lái)社會(huì)的許多行業(yè),直接用到數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)會(huì)并不多,更多的是受到數(shù)學(xué)思想的熏陶和啟迪.這種熏陶和啟迪便是學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到的一種發(fā)展.銘刻在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想,能長(zhǎng)久活躍于日常業(yè)務(wù)中,對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著極大的促進(jìn)作用,而化歸思想正是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)過(guò)程中,化歸思想也是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要方法之一,它貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)之中.這種思想的滲透需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中不斷的對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo).只要我們做個(gè)“有心人”,你會(huì)發(fā)現(xiàn)化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面都有著很好的體現(xiàn),它能成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的助推器.以下我就以一些實(shí)例來(lái)談?wù)勛约宏P(guān)于化歸思想的一些認(rèn)識(shí)和做法.

1、依托教材,挖掘教材中蘊(yùn)含的化歸思想

有理數(shù)的加法法則學(xué)習(xí),就蘊(yùn)含著化歸思想.法則中就有引導(dǎo)學(xué)生先判斷符號(hào),再轉(zhuǎn)化為小學(xué)正數(shù)加法或減法的思路.教材利用這種化歸思想能夠幫助學(xué)生更好的掌握和理解這個(gè)法則.例如(1)(-3)+(-9)= -(3+9)= -12, 這個(gè)同號(hào)相加的題目, 只需確定好符號(hào), 本質(zhì)就是小學(xué)3+9的計(jì)算, 把有理數(shù)的加法化歸為小學(xué)正數(shù)的相加, 同理(2)(-4.7)+3.9 = -(4.7-3.9)= -0.8 本質(zhì)也是確定好符號(hào),剩下的就是4.7-3.9 的計(jì)算,同樣是把有理數(shù)的加法化歸成為小學(xué)的減法.其實(shí),在不少新知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí),我們也發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含了很多這種新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化,教師注意挖掘教材中蘊(yùn)含的這種化未學(xué)為已學(xué)的化歸思想,能夠幫助學(xué)生更好的理解和掌握新的知識(shí).

2、精選例題,在知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中滲透化歸思想

在方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)程中,有著大量的化歸思想的體現(xiàn),需要教師去引導(dǎo)和發(fā)現(xiàn).

2.1 化抽象為直觀,避免理解錯(cuò)誤

例1用長(zhǎng)8 米的繩子圍成一個(gè)面積為4 平方米的長(zhǎng)方形,如何圍這個(gè)長(zhǎng)方形?

圖1

原題沒(méi)有配圖, 學(xué)生很容易把長(zhǎng)設(shè)為x 米, 誤認(rèn)為寬就是(8-x)米.上課時(shí),我要求學(xué)生先畫(huà)個(gè)草圖(如圖1),這樣就能直觀觀察到有兩個(gè)長(zhǎng)(2 個(gè)x)和兩個(gè)寬,一長(zhǎng)一寬應(yīng)該是周長(zhǎng)的一半,所以寬自然就應(yīng)該是(4-x)米.利用圖像我們就化抽象為直觀,最大可能性的避免一些理解上的誤區(qū).

2.2 化零散為整體,巧解面積類的問(wèn)題

例2如圖2,有一塊長(zhǎng)為8 米,寬6 米的矩形試驗(yàn)地,準(zhǔn)備橫豎修兩條等寬的小路,要使空白面積為35 平方米,求小路的寬.

圖2

課堂上,我引導(dǎo)學(xué)生這樣思考: 空白區(qū)域由四塊零散矩形構(gòu)成,整個(gè)圖形的構(gòu)成情況如下: 原長(zhǎng)方形面積=路的面積+空白區(qū)域的面積.利用平移圖形面積不變這一特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生把道路“靠邊站”(如右上圖),這樣四塊零散的區(qū)域就合并成了一塊矩形.問(wèn)題的關(guān)鍵就得到很好的突破,以此思考方法可以擴(kuò)散到多條道路的問(wèn)題.這道題很巧妙的利用了化零為整思路,把問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)潔明了.

2.3 化繁瑣為簡(jiǎn)潔,巧解單雙循環(huán)的問(wèn)題

單雙循環(huán)問(wèn)題也是一元二次方程應(yīng)用題中常見(jiàn)的題型,從思考的復(fù)雜性來(lái)看, 單循環(huán)的確更難掌握.因此上課時(shí),我總是先從雙循環(huán)開(kāi)始.比如5 個(gè)同學(xué)互贈(zèng)照片,5 人一共要贈(zèng)出多少?gòu)堈掌? 我引導(dǎo)學(xué)生去分析,5 個(gè)同學(xué)的情況都是一樣的,我們只要考慮清楚一位同學(xué)的情況: 他需要準(zhǔn)備(5-1)張照片(不用準(zhǔn)備自己的,因?yàn)樽约旱恼掌撬徒o別人的).那么其余同學(xué)的照片都是和這位同學(xué)一樣,故5 人一共要準(zhǔn)備5×(5-1)張.進(jìn)一步我們可以得到x 人互贈(zèng)照片,總共要贈(zèng)出x(x-1)張.在學(xué)生學(xué)會(huì)雙循環(huán)的基礎(chǔ)上,我引導(dǎo)學(xué)生思考單循環(huán)問(wèn)題,分析單循環(huán)與雙循環(huán)的最大不同——單向和雙向,任何兩人之間發(fā)生的情況數(shù)都是1 和2 的關(guān)系, 從而得到單向問(wèn)題中的情況數(shù)是雙向情況數(shù)的一半,從而得到如果x 人握手,應(yīng)該是x 人贈(zèng)照片總數(shù)的一半,即共要握次手.這道例題很巧妙的利用了化繁為簡(jiǎn)的思想,避免了單循環(huán)相對(duì)繁瑣的思考,而是利用二者的聯(lián)系,達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

2.4 化生疏為熟悉,巧妙體會(huì)化歸思想

例3如圖3,有一面積為100 平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng), 雞場(chǎng)的一邊靠墻, 另三邊用竹籬笆圍成, 如果竹籬笆的長(zhǎng)為30 米, 求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米?

圖3

在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生可以比較容易得到這個(gè)對(duì)應(yīng)方程.接下來(lái),我修改一下條件,得到下面例子.

有一面積為100 平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng),雞場(chǎng)的一邊靠墻,另三邊用竹籬笆圍成,但其中一邊開(kāi)了一個(gè)小門,門寬1 米,如果竹籬笆的長(zhǎng)為29 米,求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米?

圖4

這道題設(shè)計(jì)在學(xué)生已經(jīng)掌握了例3 的情況.上課時(shí),我注重引導(dǎo)學(xué)生觀察二者圖像的差異,發(fā)現(xiàn)二者關(guān)聯(lián),指導(dǎo)孩子自己用紅筆加上門,此時(shí)的圖形就和原來(lái)那道題的圖形一樣了(如上圖),只是現(xiàn)在的圖形總共用了29 米的竹籬笆和1米的門,一共用去了30 米的材料.那么學(xué)生就可以按照上題的思路去解決問(wèn)題,并列出方程.

2.5 化一般為特殊,突破學(xué)生思維瓶頸

例4廣州每日鮮水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種號(hào)稱“天然VC之王”和“生命之果”的水果——櫻桃.如果每千克盈利10元,每天可售出500kg.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,若每千克漲價(jià)1 元,日銷售量將減少20kg.現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000 元,同時(shí)又使顧客得到實(shí)惠,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?

題目的難點(diǎn)在于學(xué)生很難在題中準(zhǔn)確把握漲價(jià)與每1斤的利潤(rùn)及銷售量變化之間的關(guān)聯(lián),所以分析時(shí)我用了下列表格

漲一元銷量減少20斤每1 斤利潤(rùn)(元)銷售量(斤)總利潤(rùn)(元)原來(lái)10 500 10×500漲1 元(10+1)(500-20×1)(10+1)×(500-20×1)漲2 元(10+2)(500-20×2)(10+2)×(500-20×2)漲3 元漲x 元

學(xué)生通過(guò)填表觀察前4 組數(shù)據(jù)后,基本就能夠填出最后一組含x 的式子了,在這里為了得到含x 的式子,我們通過(guò)幾組特殊的情形,讓學(xué)生在特殊的情形中歸納出一般的情況.這種化一般為特殊的策略可以幫助學(xué)生很好找到題中這兩個(gè)相關(guān)量的具體聯(lián)系,從而相對(duì)容易的解決這類問(wèn)題.隨后,我把題目進(jìn)行了一次變式: 把上題中的“若每千克漲價(jià)1 元”修改成“若每千克漲價(jià)2 元”,其他部分保持不變.這個(gè)變式設(shè)計(jì)的意圖是為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)把每千克漲價(jià)2 元的問(wèn)題,想辦法轉(zhuǎn)化成漲價(jià)1 元的問(wèn)題,即“每千克漲價(jià)2 元,日銷售量將減少20kg”轉(zhuǎn)化為“每千克漲價(jià)1 元,日銷售量將減少10kg”的情形來(lái)處理,從而回到我們上一題思路中去.

2.6 化動(dòng)態(tài)為靜態(tài),突破學(xué)生思維瓶頸

在一元二次方程的應(yīng)用中,我選用了這樣一道動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

例5如圖5,已知AB = 6cm,BC =8cm, ∠B = 90°, 點(diǎn)P 從點(diǎn)A 開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B 以1cm/s 的速度移動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B 開(kāi)始沿BC 邊向C 以2cm/s 的速度移動(dòng),如果點(diǎn)P、Q 分別從A、B 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)幾秒,△PBQ 的面積等于8cm2?

圖5

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是學(xué)生最難以掌握的題型,在這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下,學(xué)生往往會(huì)陷入思維瓶頸, 不知從何下手.教學(xué)時(shí), 我指導(dǎo)學(xué)生化動(dòng)點(diǎn)為靜點(diǎn), 把時(shí)間靜止到x 秒時(shí), 此時(shí)P、Q 兩點(diǎn)就是如圖的位置,讓學(xué)生能夠在“靜止”的狀態(tài)下,去分別得到AP = xcm, BQ = 2xcm, 再結(jié)合AB = 6cm, 進(jìn)而求得BP =(6-x)cm,由直角三角形面積公式可以得到對(duì)應(yīng)的方程,最后解決問(wèn)題.

教師在一些知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生合理使用化歸思想去分析問(wèn)題,從而讓問(wèn)題得到更好地解決.

3、復(fù)習(xí)小結(jié),在知識(shí)的重現(xiàn)過(guò)程中深化化歸思想

在每個(gè)章節(jié)進(jìn)行復(fù)習(xí)小結(jié)的時(shí)候,都是一個(gè)很好深化數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會(huì).比如: 一元二次方程解法小結(jié)時(shí),我們可以讓學(xué)生體會(huì)一元二次方程解法中的高次轉(zhuǎn)化成低次的化歸思想;在小結(jié)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),我們可以讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)性質(zhì)由圖像而生,化抽象為直觀的化歸思想;小結(jié)二元一次方程組解法時(shí), 我們可以讓學(xué)生體會(huì)二元轉(zhuǎn)化成一元思想;在小結(jié)圓錐側(cè)面積和圓柱側(cè)面積算法時(shí),我們可以讓學(xué)生體會(huì)到化空間為平面的化歸思想等等.每一次復(fù)習(xí)小結(jié)就是學(xué)生進(jìn)一步深化對(duì)化歸思想理解的機(jī)會(huì).

師者,所以傳道授業(yè)解惑者也.傳道,我的理解不僅僅只是做人的道理,還應(yīng)有如何學(xué)習(xí)知識(shí)的道理,如何培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的道理.學(xué)生在不斷運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題的過(guò)程中,就能從更深的層次去理解知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,這將有利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng),也能有效促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.盡管化歸思想并不是萬(wàn)能的,但不可否認(rèn),它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著非常積極的作用.在教學(xué)過(guò)程中,希望教師針對(duì)不同的問(wèn)題,進(jìn)行縝密思考,及時(shí)燃起化歸思想這把熱情之火,使學(xué)生的解題能力和靈活性逐步得到提高,進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步的升華.