平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法探究

歐利

【摘要】 本文主要是研究在平面直角坐標(biāo)系的不同位置類型的三角形面積求法探討，最后總結(jié)出寬高公式法的用法.

【關(guān)鍵詞】 三角形面積;寬高公式法

平面直角坐標(biāo)系中三角形的面積問題一直是中考?？碱}型，運用適當(dāng)?shù)拿娣e求法會事半功倍.今天將根據(jù)三角形在平面直角坐標(biāo)系中的不同位置探討三角形的面積方法.

類型1 三角形的兩邊都在坐標(biāo)軸上

如圖1，點A在x軸上，點B在y軸上，則

S△AOB=12·OA·OB.

類型2 三角形的一邊在坐標(biāo)軸上

如圖2，3，B，C在x軸上，則

S△ABC=12·BC·AD=12·BC·|yA|.

類型3 三角形有一邊平行于坐標(biāo)軸

如圖4，5，AB∥y軸，則

S△ABC=12·AB·CD=12·AB·|xA-xC|.

注 類型一、二、三中的三角形至少有一條邊在坐標(biāo)軸上或者平行于坐標(biāo)軸，求面積時只需要將這條邊作為底邊即可.

下面將主要探討三角形中三條邊均不在坐標(biāo)軸上或均不與坐標(biāo)軸平行的情形（為了方便，下面所有三角形均在第一象限討論）.

如圖6，求△ABC的面積.

下面將從割補(bǔ)思想來討論.

補(bǔ)思想：

方法1 如圖7，過點B作BM∥x軸交CA的延長線于點M，則

S△ABC=S△BMC-S△BMA

=12·BM·CE-12·BM·AD

=12·BM·CN

=12·BM·|yC-yA|.

或如圖8，過點A作AM∥y軸交CB的延長線于點M，則

S△ABC=S△AMC-S△AMB

=12·AM·CD-12·AM·BE

=12·AM·CN

=12·AM·|xC-xB|.

方法2補(bǔ)成一個梯形

如圖9，分別過點A，C作x軸的垂線與過點B且平行于x軸的直線交于點M，N，則四邊形AMNC為梯形，則S△ABC=S梯形AMNC-S△AMB-S△BNC

=12·（AM+CN）·MN-12·BM·AM-12·BN·CN.

也可以補(bǔ)成一個矩形，如圖10，則

S△ABC=S矩形CDMN-S△AMB-S△BNC-S△ACD

=DM·MN-12·BM·AM-12·BN·CN-

12·AD·CD.

方法3 平行線法

3

如圖13，如果已知直線AC解析式，則過點B作直線平行直線AC，交過點A且平行y軸的直線于點D，則S△ABC=S△ADC，因為△ADC有一條邊平行坐標(biāo)軸，問題就轉(zhuǎn)化成類型3.

除此之外，還可以用分割的方法.

如圖12，過點B作BM∥y軸交AC于點M，則

S△ABC=S△BMA+S△BMC

=12·BM·AE+12·BM·CD

=12·BM·|xC-xA|.

一般地，圖12中BM稱為△ABC的鉛垂高，|xC-xA|稱為△ABC的水平寬.或者如下圖13，過點A作AN∥x軸交BC于點N，則

S△ABC=S△ANB+S△ANC

=12·AN·BD+12·AN·CE

=12·AN·|yC-yB|.

2圖13

其圖中|yC-yB|稱為△ABC的鉛垂高，AN稱為△ABC的水平寬.

上面用分割思想求的三角形面積方法，我們一般稱為“寬高公式法”，即三角形的面積S=12×水平寬×鉛垂高.

寬高公式法對于任意三角形都是適合的，這也大大縮短了三角形面積問題的思考時間，只需過三角形一個頂點作平行于x軸或y軸的直線就可以實現(xiàn).

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如圖14，過點A作x軸的平行線交直線BC于點E，過點B作與x軸平行的直線與過點C作y軸平行的直線相交，交點為D，則

S△ABC=12·AE·CD

=12·AE·|yC-yB|.

或者如圖15，過點B作y軸的平行線交直線AC于點M，過點C作與x軸平行的直線與過點A作y軸平行的直線相交，交點為D，則

S△ABC=12·BM·CD=12·BM·|xA-xC|.

5圖16

或者如圖16，過點C作y軸的平行線交直線AB延長線于點M，過點A作與x軸平行的直線與過點B作與y軸平行的直線相交，交點為F，則

S△ABC=12·CM·AF=12·CM·|xA-xB|.