函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

李婧赫

【摘要】隨著教育改革的不斷推進，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對教師的教學(xué)方法提出了新要求.中學(xué)生正處于數(shù)學(xué)思維初步建立階段，函數(shù)思維和函數(shù)知識應(yīng)用能力的培養(yǎng)對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升極為重要.本文對函數(shù)思維的概念、特點及其在方程、二次函數(shù)、不等式、數(shù)列中的應(yīng)用進行了分析，希望對初中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)起到參考作用.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思維;中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)解題思路;應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要做的不僅僅是將解題方法教給學(xué)生，更要做到培養(yǎng)學(xué)生具備清晰的解題思路，使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)解題方法，真正會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識.在這一過程中，函數(shù)思維的培養(yǎng)尤為重要，具備函數(shù)思維能夠幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)與思考習(xí)慣，但函數(shù)對學(xué)生來說是難點，教師在教學(xué)中要把握學(xué)生特點，采取合適的教學(xué)方法，提高課堂教學(xué)效果.

1 函數(shù)思維概述

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)思維方法可以簡單理解為通過對函數(shù)的學(xué)習(xí)和了解，將數(shù)學(xué)解題過程中遇到的問題進行函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)換，并借助函數(shù)圖象、函數(shù)概念來進行解題[1].相較于其他數(shù)學(xué)解題方法，函數(shù)思維可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成流程清晰的簡單數(shù)學(xué)問題，降低題目的難度.在解題過程中，學(xué)生運用函數(shù)知識可以快速提取數(shù)學(xué)問題中的變量，能夠幫助學(xué)生快速深入分析數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中變量的變化規(guī)律，并以此為依據(jù)，得出解題的關(guān)鍵結(jié)論.

中學(xué)生正處于深入學(xué)習(xí)函數(shù)的階段，使用函數(shù)思維解題能夠幫助學(xué)生利用所學(xué)知識對數(shù)學(xué)問題進行拆分、簡化，這是充分利用學(xué)生學(xué)習(xí)特點和學(xué)習(xí)規(guī)律的一種解題思路，數(shù)學(xué)教師通過引導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)思維進行數(shù)學(xué)問題的解答，能夠強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)思維，加強函數(shù)與其他知識點之間的關(guān)系.

2 函數(shù)思維的基本特點

2.1 辯證性

函數(shù)思維能夠通過提取出問題中包含的數(shù)學(xué)特征，建立起一個基于函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，在這一過程中，體現(xiàn)了聯(lián)系與變化的辯證唯物主義觀點.函數(shù)思維被看作辯證思維的一種，理解函數(shù)思維和應(yīng)用函數(shù)思維也是在培養(yǎng)學(xué)生的辯證精神和辯證能力.

對于中學(xué)生而言，函數(shù)思維是他們在學(xué)習(xí)過程中較早接觸到的一種辯證思維理論，在數(shù)學(xué)解題過程中，通過應(yīng)用函數(shù)思維來探索數(shù)學(xué)問題中不同數(shù)學(xué)對象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化關(guān)系，能夠使學(xué)生理解不同數(shù)學(xué)對象的內(nèi)涵以及不同數(shù)學(xué)對象如何產(chǎn)生關(guān)系，他們之間的聯(lián)系又是如何變化的，學(xué)生可以以此為基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)知識形成動態(tài)認(rèn)識，有助于學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論和函數(shù)知識，提升學(xué)生的鉆研能力與解題能力.此外，在函數(shù)思維的培養(yǎng)中，辯證思維也能得到培養(yǎng)，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)其他科目，以及辯證的應(yīng)對生活問題，從不同角度認(rèn)識事物.

2.2 變化性

函數(shù)的本質(zhì)是變化，使不同變量之間產(chǎn)生關(guān)系并相互轉(zhuǎn)化的一種數(shù)學(xué)表達形式，變化性也是函數(shù)的基本特點，不同數(shù)學(xué)對象的轉(zhuǎn)變關(guān)系通過函數(shù)表達.

在數(shù)學(xué)問題中，不同數(shù)學(xué)信息所包含的數(shù)量關(guān)系也能通過函數(shù)表達，利用函數(shù)形式來體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的變量變化，也是數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵.函數(shù)的變化性還體現(xiàn)在函數(shù)能夠隨著數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變而變化，這也是函數(shù)能夠與其他知識產(chǎn)生聯(lián)系的根本原因.在學(xué)生進行數(shù)學(xué)問題解答過程中，充分利用函數(shù)思維的變化性特點，能夠使學(xué)生靈活應(yīng)對不同數(shù)學(xué)問題，或是在同一數(shù)學(xué)問題中研究出多種的解題方法，對中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的補充與完善，以及對數(shù)學(xué)解題的認(rèn)識與了解都有極大的推動作用[2].

2.3 邏輯性

數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常強的學(xué)科，數(shù)學(xué)邏輯是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提.邏輯思維強調(diào)的是邏輯性的統(tǒng)一和對不同個體的調(diào)整，但卻缺少變性特點，缺乏數(shù)與形之間的結(jié)合與轉(zhuǎn)化，但函數(shù)本身具有的辯證性和變化性則很好的彌補了這一點.在數(shù)學(xué)解題過程中，應(yīng)用函數(shù)思維能夠?qū)㈩}目中的代數(shù)信息和幾何信息進行有機結(jié)合，使題目中的信息內(nèi)容變得一目了然，有助于學(xué)生探索更豐富的解題方法，選擇更簡單的解題方法來處理復(fù)雜數(shù)學(xué)問題.

3 函數(shù)思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

3.1 在方程中的應(yīng)用

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中方程占比較大，為了在實際教學(xué)中提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，教師要采取各種教學(xué)手段，不斷深化教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生真正理解方程知識，并利用方程知識來解決數(shù)學(xué)問題.教師可以將函數(shù)思維應(yīng)用到教學(xué)中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)方程的過程中認(rèn)識到函數(shù)思維與方程知識的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生加強函數(shù)思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生建立起函數(shù)思維與方程知識的聯(lián)系，運用熟悉的函數(shù)思維模式來學(xué)習(xí)新知識，借助函數(shù)的性質(zhì)與特點了解新學(xué)習(xí)的方程內(nèi)容.

在方程問題中，由于方程與函數(shù)在知識架構(gòu)等方面十分相似，知識點之間的聯(lián)系也極為密切，許多學(xué)生容易把二者弄混，但方程與函數(shù)是不同的，方程式所表示的通常是函數(shù)圖象上的一個具體的點，以f（x）=0為例，這個方程的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸產(chǎn)生的交點的橫坐標(biāo)，同時也可以將函數(shù)y=f（x）看做是一個二元方程f（x）-y=0，這就是函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過合理利用這個關(guān)系能夠解決許多方程有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，教師在教學(xué)中要重視培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生能夠自然聯(lián)想到函數(shù)在方程問題中的應(yīng)用.

例已知實數(shù)a，b滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，那么a+b=.

這道題是一道典型的可以通過構(gòu)造函數(shù)來解決的問題，a和b都有其相關(guān)方程式，只需要利用函數(shù)思維進行轉(zhuǎn)化就可以得到一個新的等式，也就可以求出ab之和.

解 因為a3-3a2+5a=1，

所以（a-1）3+2（a-1）+2=0， ①

又因為b3-3b2+5b=5，

所以（1-b）3+2（1-b）+2=0， ②

設(shè)f（x）=x3+2x+2，那么等式①等價為f（a-1）=0，等式②等價為f（1-b）=0，

由此可知f（a-1）=f（1-b），

又因為f（x）為R上增函數(shù)，

所以a-1=1-b，

那么就可以知道a+b=2.

這道題通過將方程兩邊構(gòu)造成兩個函數(shù)的方式進行解答，在兩個圖形的相交處找到合理的點，這是這類問題的常用解題思路，也是較為簡單便捷的解題方法，在教學(xué)中教師可以多選取這種本身難度不高且便于理解的題目作為切入點，讓學(xué)生對函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系有初步的了解，而后再逐漸提高難度.

3.2 在二次函數(shù)中的應(yīng)用

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一大章知識點，也是初中數(shù)學(xué)中的重難點問題，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時會遭遇困境，學(xué)習(xí)效果不佳.在實際教學(xué)中，教師要對二次函數(shù)的表達形式、函數(shù)圖象、函數(shù)表達式以及不同函數(shù)的對稱軸、交點式、頂點式等眾多基礎(chǔ)知識進行教學(xué)，相互之間雖然有深刻的聯(lián)系，但涵蓋面過于寬廣，不同知識點又相對比較瑣碎，無形中增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.教師在教學(xué)中利用函數(shù)思想，能夠從二次函數(shù)的根本性質(zhì)入手，幫助學(xué)生充分發(fā)掘二次函數(shù)問題中具備的隱含條件，將不同的數(shù)學(xué)信息拆解分析構(gòu)建出函數(shù)的解析式，而后進一步利用不同函數(shù)的性質(zhì)將復(fù)雜問題簡單化.利用函數(shù)思維解析二次函數(shù)問題，有助于學(xué)生利用函數(shù)思維解決非函數(shù)問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).在遇到與二次函數(shù)有關(guān)的問題時，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生示范如何用函數(shù)思維解題，二次函數(shù)教學(xué)過程中學(xué)生更容易建立函數(shù)思維，更容易在數(shù)學(xué)解題過程中主動使用函數(shù)思維來看待數(shù)學(xué)問題，教師也可以利用二次函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生的函數(shù)思維進行發(fā)掘與培養(yǎng).除此之外，遇到正比例函數(shù)與反比例函數(shù)問題時教師也可以利用二者之間的關(guān)系讓學(xué)生明確兩個圖象的特性和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，幫助學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)系統(tǒng)化邏輯思維，使學(xué)生在遇到其他問題時也能夠用函數(shù)知識來解答.

3.3 在不等式中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)解題中不等式問題具有許多不確定性，不等式問題的解題方法也多種多樣.通常來講，函數(shù)的定義域、零點、值域和極值點都能夠用來解決相應(yīng)的不等式問題，這也是函數(shù)思維在不等式解題思路中應(yīng)用體現(xiàn)，但許多學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式過程中產(chǎn)生了誤區(qū)，將公式與解題思路生搬硬套，對不同問題采用同一套解題方式，這限制了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)散[3]，也不利于學(xué)生掌握未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系.

在教學(xué)中，教師可以利用函數(shù)圖象幫助學(xué)生將題目中給出的不同數(shù)學(xué)信息進行拆分，并幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)信息中包含的函數(shù)知識，使學(xué)生將等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再利用函數(shù)思維反過來解決不等式題目，減少解題步驟的同時，學(xué)生的解題能力也得到提升.

例 設(shè)一個不等式2x-1>m（x2-1），對滿足m≤2的一切實數(shù)m均能成立，那么實數(shù)x的取值范圍為（）.

由于這是一道不等式題，許多學(xué)生第一反應(yīng)是通過不等式知識來進行解題，這是一種較為常見的思維定勢，但利用函數(shù)思維則可以利用題目中關(guān)于m的數(shù)學(xué)條件將不等式轉(zhuǎn)化為m的函數(shù)表達，由此就可以將一個稍顯復(fù)雜的不等式求值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)中常見的值域問題，自然降低了題目難度.首先是要引導(dǎo)學(xué)生問題中的條件提取出來，寫出m的一次不等式：fm=（x2-1）m-（2x-1）<0，則fm在{m|-2≤m≤2}上恒成立，即f（2）<0，f（-2）<0，計算后得出實數(shù)x的取值范圍是（ 7—12，1+ 32）.

這道題的典型之處在于它利用了自變量的選取，將不等式問題與函數(shù)知識進行了轉(zhuǎn)化，使題目難度下降.通常來講，在解決多個變量的不等式問題時，清晰處理不同變量之間關(guān)系的關(guān)鍵在于選取合適的變量參數(shù)，而面對已經(jīng)給出參數(shù)的不等式則可以通過變換參數(shù)與自變量位置的方式，利用函數(shù)思維對齊進行轉(zhuǎn)化來解決問題.

3.4 在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列與函數(shù)也有內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯聯(lián)系，通常來講，數(shù)列的表達式也可以看作是一種函數(shù)的解析式，而數(shù)列又可以看作是在定義域內(nèi)正整數(shù)集的函數(shù)，因此，在遇到數(shù)列問題時，也可以運用函數(shù)思想來解決數(shù)學(xué)問題 [4].

例 已知一個數(shù)列{an}，其通項公式為an=na（n+1）b，其中a，b均為正常數(shù)，那么an與an+1之間的大小關(guān)系應(yīng)當(dāng)是（）.

這是一道難度比較低的例題，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列知識后就能夠利用已經(jīng)掌握的解題方法進行解答，但這道題中體現(xiàn)出了函數(shù)知識與數(shù)列知識之間的聯(lián)系，教師可以在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思維進行分析，題目中的變量n的減函數(shù)式為t=1nb，那么這個變量n的增函數(shù)就應(yīng)當(dāng)為an=a（1+1n）b，根據(jù)題目分析出這些信息后則可以進行解答，最終得出的結(jié)果為an與an+1之間的大小關(guān)系是an<an+1.

4 結(jié)語

中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到數(shù)學(xué)解題過程中函數(shù)思維的重要性，認(rèn)識到在面對數(shù)學(xué)問題時函數(shù)思維能夠?qū)忸}所起到的關(guān)鍵作用.在實際教學(xué)中需要數(shù)學(xué)教師把握學(xué)生特點，在教學(xué)中不斷強化函數(shù)思維的滲透，在面對不同題目時引導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)思維拆解數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，強化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探究能力.

參考文獻：

[1]邱吉. 基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)解題深度教學(xué)研究[D].喀什大學(xué)，2021.

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[4]章青欽.分析函數(shù)思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用路徑[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（09）：140.