用冪級數(shù)研究常數(shù)項級數(shù)

◎聶 濤

(南京科技職業(yè)學院，江蘇 南京 210048)

用冪級數(shù)研究常數(shù)項級數(shù)

◎聶 濤

(南京科技職業(yè)學院，江蘇 南京 210048)

冪級數(shù)是最簡單也是最重要的函數(shù)項級數(shù)，它在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)及進行數(shù)值計算等方面都具有重要作用，同時它在研究常數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)方面也有重要的貢獻.本文通過舉例闡述了如何用冪級數(shù)判斷常數(shù)項級數(shù)的斂散性并進一步求和.

冪級數(shù)；常數(shù)項級數(shù)；斂散性；和函數(shù)

一、用冪級數(shù)判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性

判斷數(shù)項級數(shù)斂散性的方法有很多.有的數(shù)項級數(shù)可以用定義法，即通過求解部分和數(shù)列{Sn}的極限來判斷；有的可以運用數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)來判斷.對于正項級數(shù)，又有很多不同的判斷方法，例如比較判別法、比值判別法、積分判別法、對數(shù)判別法、高斯判別法等等.還有交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法.

對于某些數(shù)項級數(shù)，這些方法都無法判斷其斂散性，而通過冪級數(shù)展開式可以將原級數(shù)化成比較容易判斷其斂散性的正項級數(shù)、交錯級數(shù)或任意項級數(shù).下面先給出萊布尼茲定理的推論.

分析 這是一個交錯級數(shù)，無法用萊布尼茲定理判斷其收斂性，數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)也不能用，而將通項取絕對值之后也無法用正項級數(shù)的審斂法判斷，考慮到通項中函數(shù)的特點，可以用冪級數(shù)展開化簡.

二、用冪級數(shù)求收斂的數(shù)項級數(shù)的和

一個收斂的數(shù)項級數(shù)的和就等于它的部分和數(shù)列的極限值，而對于部分和不可求或難以求解的數(shù)項級數(shù)，可以構造一個冪級數(shù)，求出它的和函數(shù)，然后求該和函數(shù)在某一點處的函數(shù)值.