矩陣環(huán)的冪級數(shù)弱McCoy子環(huán)

王文康

(西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730124)

0 引言

文獻(xiàn)[2]中的命題1.1指出,當(dāng)n≥2時, 任意約化環(huán)R(沒有非零冪零元的環(huán))上的n×n階矩陣環(huán)Mn(R)不是冪級數(shù)右弱McCoy環(huán).我們給出任意環(huán)R的矩陣環(huán)Mn(R)的兩個冪級數(shù)右McCoy子環(huán)和兩個冪級數(shù)右弱McCoy子環(huán)，討論reduced環(huán)與冪級數(shù)右弱McCoy環(huán)之間的關(guān)系.

用R表示數(shù)域F上的一個環(huán).nil(R)表示環(huán)R中所有的冪零元做成的集合.Mn(R)表示環(huán)R上的n×n矩陣環(huán)，R[[x]]表示環(huán)R上的冪級數(shù)多項(xiàng)式環(huán).

1 主要結(jié)果

我們將(Dn[k1,k2,…，kn](R))[[x]]與Dn[k1,k2,…，kn]R([[x]])看作是相同的.

定理1 設(shè)R是一個環(huán)，那么Dn[k1,k2,…，kn](R)是冪級數(shù)右McCoy環(huán)，從而是冪級數(shù)右弱McCoy環(huán)，其中n≥2.

其中as(i),bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

其中0≤i<∞.

那么Dn[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)右 McCoy 環(huán)，從而是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán)，其中n≥2.

推論1 設(shè)R是一個環(huán)，那么Dn(R)是冪級數(shù)右McCoy 環(huán)，從而是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán)，其中n≥2.

一個環(huán)R稱為 reduced，如果它沒有非零的冪零元， reduced環(huán)又被稱為約化環(huán). 由文獻(xiàn)[2]的命題1.2可得reduced環(huán)是冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán).下面說明反之則不成立.

命題1 冪級數(shù)右弱 McCoy 環(huán)不是reduced環(huán).

證明由推論1，D2(R)是一個冪級數(shù)右弱McCoy環(huán).

采用與定理1類似的方法可得

定理2 設(shè)R是一個環(huán)，那么DnT[k1,k2,…，kn](R)是冪級數(shù)左 McCoy環(huán)，從而是冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán),其中n≥2.

CBj∈nil(DnT[k1,k2,…,kn](R)),其中0≤i<∞.

其中as(i)，bs(j)∈R,0≤i,j<∞,1≤s≤n.

其中0≤j<∞.那么DnT[k1,k2,…,kn](R)是冪級數(shù)左McCoy 環(huán)，從而是冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán)，其中n≥2.

命題2 冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán)不是reduced環(huán).

證明由推論2，D2T(R)是一個冪級數(shù)左弱 McCoy 環(huán).