淺談實(shí)數(shù)集的完備性

張芳

摘 要 實(shí)數(shù)集的完備性是實(shí)數(shù)集的一個基本特征，它是微積分學(xué)的堅實(shí)的理論基礎(chǔ)，可以從不同的角度來描述和刻畫實(shí)數(shù)集的完備性。本文用不同的方式分別證明了實(shí)數(shù)集基本定理的等價性，以及其與數(shù)域有關(guān)。這是是對實(shí)數(shù)集完備性基本定理等價性的系統(tǒng)的論述，讓我們獲得了對實(shí)數(shù)集完備性的基本特征的進(jìn)一步的認(rèn)識和理解。

關(guān)鍵詞 實(shí)數(shù)集 完備性 基本定理 數(shù)域

中圖分類號：O143 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1基本概念

實(shí)數(shù)集完備性基本定理：確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理。 這六個定理是從不同角度描述了實(shí)數(shù)集的一個性質(zhì)：實(shí)數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算是封閉的，即實(shí)數(shù)的連續(xù)性。它們之間相互等價，均可作為公理。以上的定理表述如下：

確界定理：在實(shí)數(shù)系R內(nèi)，非空的有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界存在。

單調(diào)有界原理：若數(shù)列單調(diào)上升有上界，則必有極限。

區(qū)間套定理：設(shè)是一個區(qū)間套，則必存在唯一的實(shí)數(shù)r，使得r包含在所有的區(qū)間里，即。

有限覆蓋定理：實(shí)數(shù)閉區(qū)間[a，b]的任一覆蓋E，必存在有限的子覆蓋。

緊致性定理：有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。

柯西收斂定理：在實(shí)數(shù)系中，數(shù)列有極限存在的充分必要條件是：

，，當(dāng)，時，有。

2六大基本定理等價性證明

首先列出證明過程的基本框架：

確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理

柯西收斂準(zhǔn)則 聚點(diǎn)定理 有限覆蓋定理

文[1]給出了確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理，以及柯西收斂準(zhǔn)則確界原理的證明。本文補(bǔ)充課本上有限覆蓋定理聚點(diǎn)定理柯西收斂準(zhǔn)的證明，完成整個循環(huán)證明的過程。

2.1由有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理

證明：設(shè)A 為有界無限點(diǎn)集 。那么存在正數(shù)M>0 ，使得 。

假設(shè)中任意點(diǎn)都不是A 的聚點(diǎn)，則對任意一點(diǎn)， 必存在相應(yīng)的>0 使得在中至多有A 的有限個點(diǎn)。記，則H 為A 的一個開覆蓋 。

由有限覆蓋定理，在H中可以找到有限個開區(qū)間覆蓋。記為，從而更能覆蓋A 。

因內(nèi)至多含有A 中有限個點(diǎn)，從而A為有限點(diǎn)集，與假設(shè)“ A 是有界無限點(diǎn)集”矛盾。故區(qū)間中至少有一個集合A的聚點(diǎn)，即集A至少有一個聚點(diǎn)。

2.2由聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證明：先證條件的必要性：設(shè)，則對任意給定的>0，有一正整數(shù)N當(dāng)k>N時，有。從而當(dāng)m，n>N 時，有。

其次，證明條件的充分性：設(shè)數(shù)列滿足條件：對任給正數(shù)，總存在某一個自然數(shù)N，使得當(dāng)m、n>N 時，都有 。

取，則存在自然數(shù)，當(dāng)n>時，有 ，從而 ，

令，則對一切， 有，即有界。

下證有收斂子列 。

若是有限集，則必有一常子列；若E 為無限集，則由聚點(diǎn)定理，E有一個聚點(diǎn) A。由聚點(diǎn)定義可證，存在，使?？傊?有收斂子列 。設(shè)，則對任給正數(shù)，存在N，當(dāng)k， m， n>N時，有 ， 。

所以當(dāng) n>N（任取 k>N，使 ）時，有

。

故。

3實(shí)數(shù)集完備性基本定理等價性與數(shù)域有關(guān)

確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理，這六個定理在實(shí)數(shù)系中這六個命題是相互等價的，在有理數(shù)系中這六個命題不成立，下面給出反例。

反例1：（確界原理），

即S在有理數(shù)集沒有確界。確界原理在有理數(shù)域不成立。

反例2：（單調(diào)有界定理） {（1+）n}是單調(diào)有界有理數(shù)列。

即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。

反例3：（區(qū)間套定理）取單調(diào)遞增有理數(shù)列{an}使an→，

取單調(diào)遞減有理數(shù)列{bn}，使bn→，

則有理數(shù)域內(nèi)構(gòu)成閉區(qū) 間套 [an，bn]Q，

其在實(shí)數(shù)系內(nèi)唯一的公共點(diǎn)為Q

所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。

反例4：（有限覆蓋定理）

設(shè)[1，2]Q表示[1，2]中所有有理數(shù)的集合，

x∈[1，2]Q， 有理數(shù)rx，使（xrx，x+rx）

令H={（xrx，x+rx）|x∈[1，2]Q}則H是[1，2]Q的一個開覆蓋，則在r與之間所有有理數(shù)都在上述n個區(qū)間之外。

即H的任意有限覆蓋都不能覆蓋[1，2]Q。

反例5：（致密性定理）設(shè)數(shù)列其極限為無理數(shù)e，從而任一子列均收斂于e。

故有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。

反例6：（柯西收斂準(zhǔn)則） 滿足Cauchy條件的有理數(shù)列，但其極限是無理數(shù)e。

4定理作為工具運(yùn)用的特點(diǎn)

確界定理：構(gòu)造數(shù)集，使其具有某種性質(zhì)，并將這種性質(zhì)傳遞到數(shù)集的確界，使確界之后的數(shù)不可能具備該性質(zhì)。

區(qū)間套定理：從構(gòu)造過程中，使某種性質(zhì)從第一個區(qū)間開始傳遞到第二個閉區(qū)間，再從第二個區(qū)間推到第三個區(qū)間……。如此繼續(xù)下去，直到將這個性質(zhì)聚到區(qū)間套所共有的點(diǎn)的任意附近。

緊致性定理：從數(shù)列的極限理論，我們知道收斂數(shù)列一定有界，但有界數(shù)列不一定收斂。在一系列需要構(gòu)造收斂數(shù)列的分析問題中，往往一開始構(gòu)造一個有界數(shù)列，然后由緊致性定理得出子列，也即緊致性定理，讓我們從“混亂”的數(shù)列中找出了“秩序”。

有限覆蓋定理：在分析問題過程中，往往可以從局部性質(zhì)推向整體性質(zhì)，特別是將有限覆蓋與反證法相結(jié)合，往往可以推出矛盾。

柯西收斂定理：完全數(shù)列本身出發(fā)，由于它給出的是極限存在的充分必要條件，不需要先假定極限的存在，相比極限的定義來說，這是一個很大的進(jìn)步。

5等價性證明過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論

（1）從用有限覆蓋定理證明緊致性定理和用確界定理證明緊致性定理中，我們都證明了一個結(jié)論：有界數(shù)列必有子數(shù)列。而我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這是一個充分必要條件。將其推廣到數(shù)集上，我們正是得到數(shù)集聚點(diǎn)的兩個等價定義。

用類似證緊致性定理的方法也可證的聚點(diǎn)定理。即

聚點(diǎn)定理：直線上的有界無限點(diǎn)集S至少有一個緊致性。

證明：∵ S有界，∴ M>0，使S [-M，M]，再二等分此區(qū)間，則必有一區(qū)間包含S的無限多個點(diǎn)，記該區(qū)間…… 如此繼續(xù)下去，我們得到一區(qū)間套，每個區(qū)間內(nèi)含有S 的無限多個點(diǎn)。

由區(qū)間套定理，得 唯一的c，使兩個區(qū)間斷點(diǎn)的極限相等，且為c。

∵ 每個小區(qū)間內(nèi)含有S 的無限多個點(diǎn)。

∴ C是S的一個緊致性。定理證完。

可見，緊致性定理是聚點(diǎn)定理的推論。

（2）由單調(diào)有界定理證明緊致性定理的第二種證法，我們可以得出結(jié)論：任何數(shù)列都有單調(diào)子數(shù)列。有界數(shù)列已證。而無界數(shù)列也有單調(diào)子數(shù)列。

這個結(jié)論雖然與實(shí)數(shù)系無關(guān)，但將它用于有界數(shù)列，再利用單調(diào)有界定理，就可以得到緊致性定理。

6結(jié)語

正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達(dá)方法一樣，同一個數(shù)學(xué)事實(shí)可以有不同的表達(dá)方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。不同的證明還啟迪了我們的思維，交流了數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致了我們的發(fā)現(xiàn)。我想，隨著對數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)給我們的是一個更加精彩的世界，其中的發(fā)現(xiàn)更是無窮無盡的。

參看文獻(xiàn)

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].上海：高等教育出版社，2010.

[2] 歐陽廣中，姚允龍，周淵.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.

[3] 王向東，高成修，安楓靈.數(shù)學(xué)分析的概念與方法[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1988.endprint