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    淺談實(shí)數(shù)集的完備性

    2018-01-09 22:08:14張芳
    科教導(dǎo)刊·電子版 2017年31期
    關(guān)鍵詞:數(shù)域

    張芳

    摘 要 實(shí)數(shù)集的完備性是實(shí)數(shù)集的一個基本特征,它是微積分學(xué)的堅實(shí)的理論基礎(chǔ),可以從不同的角度來描述和刻畫實(shí)數(shù)集的完備性。本文用不同的方式分別證明了實(shí)數(shù)集基本定理的等價性,以及其與數(shù)域有關(guān)。這是是對實(shí)數(shù)集完備性基本定理等價性的系統(tǒng)的論述,讓我們獲得了對實(shí)數(shù)集完備性的基本特征的進(jìn)一步的認(rèn)識和理解。

    關(guān)鍵詞 實(shí)數(shù)集 完備性 基本定理 數(shù)域

    中圖分類號:O143 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

    1基本概念

    實(shí)數(shù)集完備性基本定理:確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理。 這六個定理是從不同角度描述了實(shí)數(shù)集的一個性質(zhì):實(shí)數(shù)集關(guān)于極限運(yùn)算是封閉的,即實(shí)數(shù)的連續(xù)性。它們之間相互等價,均可作為公理。以上的定理表述如下:

    確界定理:在實(shí)數(shù)系R內(nèi),非空的有上(下)界的數(shù)集必有上(下)確界存在。

    單調(diào)有界原理:若數(shù)列單調(diào)上升有上界,則必有極限。

    區(qū)間套定理:設(shè)是一個區(qū)間套,則必存在唯一的實(shí)數(shù)r,使得r包含在所有的區(qū)間里,即。

    有限覆蓋定理:實(shí)數(shù)閉區(qū)間[a,b]的任一覆蓋E,必存在有限的子覆蓋。

    緊致性定理:有界數(shù)列必有收斂子數(shù)列。

    柯西收斂定理:在實(shí)數(shù)系中,數(shù)列有極限存在的充分必要條件是:

    ,,當(dāng),時,有。

    2六大基本定理等價性證明

    首先列出證明過程的基本框架:

    確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理

    柯西收斂準(zhǔn)則 聚點(diǎn)定理 有限覆蓋定理

    文[1]給出了確界原理單調(diào)有界定理區(qū)間套定理有限覆蓋定理,以及柯西收斂準(zhǔn)則確界原理的證明。本文補(bǔ)充課本上有限覆蓋定理聚點(diǎn)定理柯西收斂準(zhǔn)的證明,完成整個循環(huán)證明的過程。

    2.1由有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理

    證明:設(shè)A 為有界無限點(diǎn)集 。那么存在正數(shù)M>0 ,使得 。

    假設(shè)中任意點(diǎn)都不是A 的聚點(diǎn),則對任意一點(diǎn), 必存在相應(yīng)的>0 使得在中至多有A 的有限個點(diǎn)。記,則H 為A 的一個開覆蓋 。

    由有限覆蓋定理,在H中可以找到有限個開區(qū)間覆蓋。記為,從而更能覆蓋A 。

    因內(nèi)至多含有A 中有限個點(diǎn),從而A為有限點(diǎn)集,與假設(shè)“ A 是有界無限點(diǎn)集”矛盾。故區(qū)間中至少有一個集合A的聚點(diǎn),即集A至少有一個聚點(diǎn)。

    2.2由聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

    證明:先證條件的必要性:設(shè),則對任意給定的>0,有一正整數(shù)N當(dāng)k>N時,有。從而當(dāng)m,n>N 時,有。

    其次,證明條件的充分性:設(shè)數(shù)列滿足條件:對任給正數(shù),總存在某一個自然數(shù)N,使得當(dāng)m、n>N 時,都有 。

    取,則存在自然數(shù),當(dāng)n>時,有 ,從而 ,

    令,則對一切, 有,即有界。

    下證有收斂子列 。

    若是有限集,則必有一常子列;若E 為無限集,則由聚點(diǎn)定理,E有一個聚點(diǎn) A。由聚點(diǎn)定義可證,存在,使??傊?有收斂子列 。設(shè),則對任給正數(shù),存在N,當(dāng)k, m, n>N時,有 , 。

    所以當(dāng) n>N(任取 k>N,使 )時,有

    。

    故。

    3實(shí)數(shù)集完備性基本定理等價性與數(shù)域有關(guān)

    確界定理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂定理、緊致性定理,這六個定理在實(shí)數(shù)系中這六個命題是相互等價的,在有理數(shù)系中這六個命題不成立,下面給出反例。

    反例1:(確界原理),

    即S在有理數(shù)集沒有確界。確界原理在有理數(shù)域不成立。

    反例2:(單調(diào)有界定理) {(1+)n}是單調(diào)有界有理數(shù)列。

    即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。

    反例3:(區(qū)間套定理)取單調(diào)遞增有理數(shù)列{an}使an→,

    取單調(diào)遞減有理數(shù)列{bn},使bn→,

    則有理數(shù)域內(nèi)構(gòu)成閉區(qū) 間套 [an,bn]Q,

    其在實(shí)數(shù)系內(nèi)唯一的公共點(diǎn)為Q

    所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。

    反例4:(有限覆蓋定理)

    設(shè)[1,2]Q表示[1,2]中所有有理數(shù)的集合,

    x∈[1,2]Q, 有理數(shù)rx,使(xrx,x+rx)

    令H={(xrx,x+rx)|x∈[1,2]Q}則H是[1,2]Q的一個開覆蓋,則在r與之間所有有理數(shù)都在上述n個區(qū)間之外。

    即H的任意有限覆蓋都不能覆蓋[1,2]Q。

    反例5:(致密性定理)設(shè)數(shù)列其極限為無理數(shù)e,從而任一子列均收斂于e。

    故有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。

    反例6:(柯西收斂準(zhǔn)則) 滿足Cauchy條件的有理數(shù)列,但其極限是無理數(shù)e。

    4定理作為工具運(yùn)用的特點(diǎn)

    確界定理:構(gòu)造數(shù)集,使其具有某種性質(zhì),并將這種性質(zhì)傳遞到數(shù)集的確界,使確界之后的數(shù)不可能具備該性質(zhì)。

    區(qū)間套定理:從構(gòu)造過程中,使某種性質(zhì)從第一個區(qū)間開始傳遞到第二個閉區(qū)間,再從第二個區(qū)間推到第三個區(qū)間……。如此繼續(xù)下去,直到將這個性質(zhì)聚到區(qū)間套所共有的點(diǎn)的任意附近。

    緊致性定理:從數(shù)列的極限理論,我們知道收斂數(shù)列一定有界,但有界數(shù)列不一定收斂。在一系列需要構(gòu)造收斂數(shù)列的分析問題中,往往一開始構(gòu)造一個有界數(shù)列,然后由緊致性定理得出子列,也即緊致性定理,讓我們從“混亂”的數(shù)列中找出了“秩序”。

    有限覆蓋定理:在分析問題過程中,往往可以從局部性質(zhì)推向整體性質(zhì),特別是將有限覆蓋與反證法相結(jié)合,往往可以推出矛盾。

    柯西收斂定理:完全數(shù)列本身出發(fā),由于它給出的是極限存在的充分必要條件,不需要先假定極限的存在,相比極限的定義來說,這是一個很大的進(jìn)步。

    5等價性證明過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論

    (1)從用有限覆蓋定理證明緊致性定理和用確界定理證明緊致性定理中,我們都證明了一個結(jié)論:有界數(shù)列必有子數(shù)列。而我們發(fā)現(xiàn),其實(shí)這是一個充分必要條件。將其推廣到數(shù)集上,我們正是得到數(shù)集聚點(diǎn)的兩個等價定義。

    用類似證緊致性定理的方法也可證的聚點(diǎn)定理。即

    聚點(diǎn)定理:直線上的有界無限點(diǎn)集S至少有一個緊致性。

    證明:∵ S有界,∴ M>0,使S [-M,M],再二等分此區(qū)間,則必有一區(qū)間包含S的無限多個點(diǎn),記該區(qū)間…… 如此繼續(xù)下去,我們得到一區(qū)間套,每個區(qū)間內(nèi)含有S 的無限多個點(diǎn)。

    由區(qū)間套定理,得 唯一的c,使兩個區(qū)間斷點(diǎn)的極限相等,且為c。

    ∵ 每個小區(qū)間內(nèi)含有S 的無限多個點(diǎn)。

    ∴ C是S的一個緊致性。定理證完。

    可見,緊致性定理是聚點(diǎn)定理的推論。

    (2)由單調(diào)有界定理證明緊致性定理的第二種證法,我們可以得出結(jié)論:任何數(shù)列都有單調(diào)子數(shù)列。有界數(shù)列已證。而無界數(shù)列也有單調(diào)子數(shù)列。

    這個結(jié)論雖然與實(shí)數(shù)系無關(guān),但將它用于有界數(shù)列,再利用單調(diào)有界定理,就可以得到緊致性定理。

    6結(jié)語

    正如在任何語言中,同一思想可以用多種表達(dá)方法一樣,同一個數(shù)學(xué)事實(shí)可以有不同的表達(dá)方式和不同的證明方法。而在證明過程中,我們不只檢驗了定理,而且對定理有了更深的理解。不同的證明還啟迪了我們的思維,交流了數(shù)學(xué)思想,導(dǎo)致了我們的發(fā)現(xiàn)。我想,隨著對數(shù)學(xué)的深入學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)呈現(xiàn)給我們的是一個更加精彩的世界,其中的發(fā)現(xiàn)更是無窮無盡的。

    參看文獻(xiàn)

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].上海:高等教育出版社,2010.

    [2] 歐陽廣中,姚允龍,周淵.數(shù)學(xué)分析[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

    [3] 王向東,高成修,安楓靈.數(shù)學(xué)分析的概念與方法[M].上海:上??茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,1988.endprint

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