一種四元數(shù)域魯棒自適應波束形成方法

王 荔,徐友根,劉志文

(北京理工大學信息與電子學院,北京 100081)

基礎(chǔ)理論

一種四元數(shù)域魯棒自適應波束形成方法

王 荔,徐友根,劉志文

(北京理工大學信息與電子學院,北京 100081)

本文考慮期望信號導向矢量失配條件下的四元數(shù)域魯棒自適應波束形成問題。首先將復數(shù)域二次約束二次規(guī)劃技術(shù)推廣于四元數(shù)域，以對期望信號四元數(shù)域?qū)蚴噶窟M行修正。進一步將四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)域問題，從而可以直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)進行求解。最后利用修正的信號四元數(shù)域?qū)蚴噶繉崿F(xiàn)四元數(shù)域魯棒自適應波束形成。仿真結(jié)果表明，本文所提四元數(shù)域魯棒自適應波束形成方法在導向矢量失配條件下其輸出信干噪比優(yōu)于現(xiàn)有的四元數(shù)域自適應波束形成方法。

陣列信號處理；魯棒自適應波束形成；四元數(shù)；模型失配

0 引 言

自適應波束形成作為陣列信號處理的主要研究內(nèi)容之一，廣泛應用于雷達、聲吶、無線通信、醫(yī)學影像以及地震探測等眾多領(lǐng)域[1-3]。矢量傳感器構(gòu)陣列由于能夠獲取和利用入射信號的極化信息，完成空-時-極化域聯(lián)合濾波，進而提高波束形成器性能，一直以來備受關(guān)注[4-5]。

多元數(shù)建模方法相比于常規(guī)復數(shù)方法可以更好地描述和利用矢量傳感器陣列輸出數(shù)據(jù)的多層次和多維度結(jié)構(gòu)信息，近年來已成為矢量傳感器陣列信號處理中的熱點問題之一[6-7]。復數(shù)域多重信號分類、子空間旋轉(zhuǎn)不變等信號參數(shù)估計方法已被成功推廣于多元數(shù)域。由于隱含數(shù)據(jù)平滑操作，多元數(shù)域方法在抗噪性能和對模型誤差的魯棒性等方面較之復數(shù)域方法有一定優(yōu)勢[8-11]。此外，四元數(shù)域自適應波束形成方法最近也受到了眾多關(guān)注，其中，文獻[12]將四元數(shù)應用于二分量矢量傳感器陣列自適應波束形成中，但其輸出信干噪比性能對實際中經(jīng)常存在的導向矢量失配問題較為敏感；文獻[13]基于兩路干擾及噪聲對消的思想，研究了一種具有聯(lián)合結(jié)構(gòu)且能抑制單個強相干干擾的自適應波束形成方法；文獻[14]將復數(shù)域最壞情況最優(yōu)化技術(shù)推廣至四元數(shù)域，提出了兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應波束形成方法，其對模型誤差的魯棒性優(yōu)于常規(guī)四元數(shù)域波束形成方法。

然而，上述兩種四元數(shù)域最壞情況最優(yōu)化自適應波束形成方法均需要模型誤差的先驗信息，在實際應用中其實現(xiàn)有一定困難。為此，本文將復數(shù)域?qū)蚴噶啃拚敯舨ㄊ纬煞椒ㄍ茝V至四元數(shù)域，提出一種性能更好且更易實現(xiàn)的四元數(shù)域魯棒自適應波束形成方法。

1 問題描述

1.1 四元數(shù)的相關(guān)定義

四元數(shù)q可表示為

q=qr+iqi+jqj+kqk=q1+iq2

(1)

四元數(shù)的三種對合(可視為復數(shù)共軛的推廣)[15]分別定義為：1)q(i)=-iqi=qr+iqi-jqj-kqk；2)q(j)=-jqj=qr-iqi+jqj-kqk；3)q(k)=-kqk=qr-iqi-jqj+kqk，利用四元數(shù)及其對合的定義，可以得到：qr=(q+q*)/2，qi=(q-q(i)*)/2i，qj=(q-q(j)*)/2j，qk=(q-q(k)*)/2k。

M×N維四元數(shù)矩陣Q可表示為

Q=Qr+iQi+jQj+kQk

(2)

1.2 四元數(shù)域自適應波束形成

假設波束形成陣列由N個特性相同的二分量矢量傳感器組成，將其劃分為兩個空間幾何完全相同的子陣，其復數(shù)域輸出分別具有下述形式：

(3)

(4)

式中，a1,0和a2,0為兩個子陣對應于期望信號s0(t)的導向矢量，a1,m和a2,m為兩個子陣對應于第m個干擾sm(t)的導向矢量，n1(t)和n2(t)為兩個子陣的噪聲矢量。

利用x1(t)和x2(t)構(gòu)造下述四元數(shù)矢量：

x(t)=x1(t)+ix2(t)=a0s0(t)+

(5)

式中，am=a1,m+ia2,m為sm(t)的四元數(shù)域?qū)蚴噶?，n(t)=n1(t)+in2(t)為四元數(shù)域噪聲矢量。

四元數(shù)域波束形成器的輸出可以寫成：

y(t)=w?x(t)

(6)

式中，w為四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量。四元數(shù)域波束形成器的輸出功率為：

E{|y(t)|2}=E{|w?x(t)|2}=w?Rw

(7)

式中，R=E{x(t)x?(t)}為陣列輸出四元數(shù)域協(xié)方差矩陣。

四元數(shù)域波束形成器權(quán)矢量w可通過下述準則(QCAPON)確定：

s.t.w?a0=1

(8)

利用拉格朗日乘子方法可得下述QCAPON波束形成器權(quán)矢量：

(9)

(10)

式中，K為采樣快拍數(shù)。

2 基于導向矢量修正的四元數(shù)域魯棒自適應波束形成

關(guān)于誤差分量e⊥的估計，文獻[16]提出了一種二次約束二次規(guī)劃方法，該方法可以直接推廣至四元數(shù)域，也即

(11)

(12)

e⊥=e⊥, r+ie⊥,i+je⊥,j+ke⊥,k

(13)

(14)

于是有

(15)

(16)

式中

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

這樣，

(23)

式中，dr，di，dj和dk均為N×1維實數(shù)矢量。

(24)

L=Lr+iLi+jLj+kLk

(25)

(26)

由此，式(11)所示的四元數(shù)域約束優(yōu)化問題最終可寫成如下實數(shù)形式：

s.t.

(27)

e⊥=e⊥,A(1:N)+ie⊥,A(N+1:2N)+je⊥,A

(2N+1:3N)+ke⊥,A(3N+1:4N)

(28)

將式(10)和(28)代入式(9)中，最終得到下述基于四元數(shù)域?qū)蚴噶啃拚乃脑獢?shù)域魯棒自適應波束形成(QSVC-BF)權(quán)矢量

(29)

將式(29)代入式(6)中，可得四元數(shù)域自適應波束形成器的輸出如下：

(30)

3 仿真實驗結(jié)果與討論

本節(jié)對論文所提的QSVC-BF方法，文獻[12]中的QCAPON方法，以及文獻[14]中的QWCCB1方法和QWCCB2方法進行性能比較。采用由10個交叉偶極子天線組成的矢量線陣,交叉偶極子天線間的距離均為信號半個波長。假設有1個期望信號與2個非相干干擾從遠場入射至該陣列，噪聲為加性高斯白噪聲。假設期望信號的俯仰角和方位角分別為5°和60°，極化輔助角和極化相位差分別為45°和30°，干擾1的俯仰角和方位角分別為30°和40°，極化輔助角和極化相位差分別為9°和55°，干擾2的俯仰角和方位角分別為60°和20°，極化輔助角和極化相位差分別為63°和72°。期望信號導向矢量的真實值和標稱值之間的誤差矢量為e，假設其范數(shù)‖e‖在區(qū)間(0, 1]上均勻分布[6]。蒙特卡洛獨立實驗次數(shù)均為200。

圖1和圖2分別給出了輸入干噪比(INR)固定為20 dB和30 dB時,輸出信干噪比隨輸入信噪比(SNR)的變化圖。仿真實驗中，采樣快拍數(shù)均固定為30。由圖1和圖2所示結(jié)果可以看出，在輸入信噪比較低時，幾種波束形成器性能相近，且均接近輸出信干噪比最優(yōu)值(OPT-SINR)；隨著輸入信噪比的增大，QWCCB1方法和QWCCB2方法的輸出信干噪比性能接近但均逐漸低于最優(yōu)值，QCAPON方法其輸出信干噪比性能則急劇下降，本文所提的QSVC-BF方法輸出信干噪比性能整體上優(yōu)于其他幾種四元數(shù)域自適應波束形成方法。

圖1 輸出SINR隨輸入SNR變化圖，INR=20 dB

圖2 輸出SINR隨輸入SNR變化圖，INR=30 dB

圖3和圖4分別給出了輸入干噪比固定為20 dB和30 dB時,輸出信干噪比隨采樣快拍數(shù)變化的性能曲線。仿真實驗中，輸入信噪比固定為10 dB。由圖3和圖4所示結(jié)果可以看出，隨著采樣快拍數(shù)的增加，幾種自適應波束形成方法的輸出信干噪比逐漸變大且趨于穩(wěn)定，QWCCB1和QWCCB2兩種方法的性能相當，在各個采樣快拍數(shù)下，文中所提的QSVC-BF方法的輸出信干噪比性能都較優(yōu)于QWCCB1方法、QWCCB2方法和QCAPON方法，即使在采樣快拍數(shù)低于50的情況下，QSVC-BF方法也具有較好的輸出信干噪比性能。

圖3 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖，INR=20 dB

圖4 輸出SINR隨快拍數(shù)變化圖，INR=30 dB

4 結(jié) 語

本文提出了一種四元數(shù)域魯棒自適應波束形成方法，通過四元數(shù)域二次約束二次規(guī)劃問題的實數(shù)化，直接利用凸優(yōu)化工具包(CVX)對四元數(shù)域期望信號導向矢量的標稱值進行修正，以克服由信號相消所導致的四元數(shù)域自適應波束形成器性能下降問題。仿真實驗表明，所提方法的輸出信干噪比性能優(yōu)于現(xiàn)有的幾種典型的四元數(shù)域自適應波束形成方法，且在高輸入信噪比和短快拍條件下尤為顯著。

[1] Li J, Stoica P. Robust adaptive beamforming [M]. New York: Wiley, 2005.

[2] 朱德智，呂新正，黃鶴. 零陷加深的自適應波束形成技術(shù)研究[J]. 中國電子科學研究院學報. 2012, 7(4): 365-369.

[3] Zhang L, Liu W, Li J. Low complexity distributed beamforming for relay networks with real valued implementation [J]. IEEE Transaction on Signal Processing, 2013, 61(20): 5039-5048.

[4] Nehorai A, Ho K C, Tan B T G. Minimum noise variance beamformer with an electromagnetic vector sensor [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1999, 47(3): 601-618.

[5] 徐振海，王雪松，肖順平. 極化敏感陣列濾波性能分析：完全極化情形[J]. 電子學報，2004, 32(8): 1310-1313.

[6] Jiang M D, Li Yi, Liu W. Properties of a general quaternion-valued gradient operator and its applications to signal processing [J]. Frontiers of Information Technology and Electronic Engineering, 2016, 17(2): 83-95.

[7] Jiang M D, Liu W, Li Y. Adaptive Beamforming for Vector-Sensor Arrays Based on a Reweighted Zero-Attracting Quaternion-Valued LMS Algorithm [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 2016, 63(3): 274-278.

[8] Miron S, Le Bihan N, Mars J I. Quaternion-MUSIC for vector-sensor array processing [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(4): 1218-1229.

[9] Gong X F, Xu Y G, Liu Z W. Quaternion ESPRIT for direction finding with a polarization sentive array [C]. IEEE 9th International Conference on Signal Processing, Beijing, 2008: 378-381.

[10]Le Bihan N, Miron S, Mars J I. MUSIC algorithm for vector-sentors array using biquaternions [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(9): 4523-4533.

[11]李旦, 蔣景飛, 張建秋. 雙四元數(shù)矢量傳感器陣列模型和電磁源定位[J]. 電子學報, 2011, 39(9): 1997-2003.

[12]Gou X M, Xu Y G, Liu Z W, et al. Quaternion-Capon beamformer using crossed-dipole arrays [C]. IEEE International Symposium on Microwave, Antenna, Propagation, and EMC Technologies for Wireless Communications, Beijing, 2011: 34-37.

[13]Tao J W, Chang W X. A novel combined beamformer based on hypercomplex processes [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2013, 49(2): 1276-1289.

[14]Zhang X R, Liu W, Xu Y G, et al. Quaternion-valued robust adaptive beamformer for electromagnetic vector-sensor arrays with worst-case constraint [J]. Signal Processing, 2014, 104: 274-283

[15]Todd A E, Stephen J S. Quaternion involutions and anti-involutions [J]. Computer and Mathematics with Applications, 2007, 53(1): 137-143.

[16]Jia W M, Jin W, Zhou S H, et al. Robust adaptive beamforming based on a new steering vector estimation algorithm [J], Signal Processing, 2013, 93: 2539-2542.

[17]Wang M, Ma W. A Structure-Preserving Algorithm for the Quaternion Cholesky Decomposition [J]. Applied Mathematics and Computation, 2013, 223: 354-361.

A Quaternion-valued Robust Adaptive Beamforming Method

WANG Li, XU You-gen,LIU Zhi-wen

(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The problem of quaternion-valued robust adaptive beamforming in the presence of steering vector mismatch is considered in the paper. In the method, the complex-valued quadratically constrained quadratic programming technique is extended to the quaternion domain to enhance the quaternion-valued steering vector of the signal of interest (SOI). The quaternion-valued quadratically constrained quadratic programming problem is then reformulated as a real-valued constrained one which can be directly solved by using the convex optimization toolkit (CVX). The quaternion domain robust adaptive beamforming is finally realized by using the upgraded quaternion-valued SOI steering vector. Simulation results show that the proposed robust beamformer outperforms the existing quaternion domain adaptive beamformers in terms of output signal to interference-plus-noise ratio for the tested case of steering vector mismatch.

array signal processing; robust adaptive beamforming; quaternion; model mismatch

10.3969/j.issn.1673-5692.2016.02.006

2016-11-11

2017-02-20

國家自然科學基金(61490691, 61331019)

TN971.1

A

1673-5692(2017)02-132-05

王 荔(1995—)，女，山西人，碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理及其應用；

E-mail：wangli_nice@126.com

徐友根(1975—)，男，江蘇人，教授，博士生導師，主要研究方向為陣列信號處理及其應用；

劉志文(1962—)，男，陜西人，教授，博士生導師，主要研究方向為陣列信號處理及其應用、醫(yī)學信號與圖像處理等。