冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)*

任艷麗，李敏

(1. 南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院，江蘇 南京 211171； 2. 南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044)

冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)*

任艷麗1，李敏2

(1. 南京曉莊學(xué)院信息工程學(xué)院，江蘇 南京 211171； 2. 南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044)

冪級數(shù)；冪級數(shù)Armendariz環(huán)；冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)； 冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)

本文假定所研究的環(huán)R都是有單位元1的結(jié)合環(huán)，α是環(huán)R的一個非零自同態(tài)。我們分別以R[x]和R[[x]]表示R上的多項式環(huán)和R上的冪級數(shù)環(huán)，分別以nil(R)和J(R)表示環(huán)R中所有冪零元的集合和R的Jacobsin根，分別以MN(R),Tn(R),In,Eij表示R上的n階全矩陣環(huán)，n階上三角矩陣環(huán)，n階單位矩陣和第i行第j列為1其余為0的n階矩陣。

近年來，關(guān)于冪級數(shù)環(huán)的研究和討論有很多[1-7]。Kim等在文獻[1]中稱一個環(huán)R為冪級

由f(x)g(x)=0可以推出aibj∈nil(R),對一切i和j。冪級數(shù)Armendariz環(huán)是冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)，但反之不成立(見文獻[2]的Remark6)。

1 定義及例子

下面， 我們將冪級數(shù)Armendariz環(huán)的概念做另一方面的推廣。

定義1 稱一個環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，如果對任意的冪級數(shù)

由f(x)g(x)=0可以推出aibj=J(R),對任意的i和j。

顯然冪級數(shù)Armendariz環(huán)是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

命題1 冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)的理想子環(huán)也是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

當nil(R)是環(huán)R的理想(即R是NI環(huán))時，nil(R)=J(R)(見文獻[8]的命題2.7(2))， 冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。下面的例子說明，冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)未必是冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)。

例1 設(shè)F=Z2,A是冪級數(shù)環(huán)F[[t]]上的三階全矩陣環(huán)，

B={M=(mij)∈A|mij∈tF[[t]],其中i=3或j=3時,mij=0}，

且滿足f(x)g(x)=0,則

因此環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。 但對于環(huán)R上的兩個多項式，有f(x)g(x)=0, 而te11t(e21+e22)?nil(R),因此環(huán)R不是冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)。

這樣我們就知道，冪級數(shù)Armendariz環(huán)?冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)；冪級數(shù)Armendariz環(huán)?冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，但反之都不成立。對于NI環(huán)，有冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)?冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

2 冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)的擴張

給定兩個環(huán)R,S和一個雙模RMS， 令

于是由f(x)g(x)=0知fr(x)gr(x)=0,fs(x)gs(x)=0。因為R,S是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，所以

滿足fs(x)gs(x)=0。現(xiàn)在令

這推出R,S都是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

推論1 設(shè)Tn(R)是n階上三角矩陣環(huán)， 則Tn(R)是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)當且僅當R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

據(jù)命題2，自然問：環(huán)R上的n階全矩陣環(huán)Mn(R)是否也是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)， 其中n≥2。下面的例子給出了否定回答。

例2 設(shè)F是一個域且R=M2(F)。取

命題3 設(shè)R是一個環(huán)，I是環(huán)R的一個理想且I?J(R)。如果R/I是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，則R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

證明 設(shè)

稱一個環(huán)R為局部環(huán)，如果R/J(R)是除環(huán)。

推論2 如果R是一個局部環(huán)，則環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

證明 因為R是局部環(huán)，R/J(R)是除環(huán)，而已知約化環(huán)是冪級數(shù)Armendariz環(huán)，所以R/J(R)是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。由命題3 知結(jié)論成立。

但是，當R是一個局部環(huán)時，R未必是冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)。

例 3[3]設(shè)F是一個域，R=M2(F)且R1=R[[t]]。

其中I是F的單位矩陣。 顯然S是局部環(huán)， 由推論2知，環(huán)S是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。 但是取

f(x)=e11t+e12tx,g(x)=e21t+e11tx∈S[x]有f(x)g(x)=0,由于(e11t)2?nil(S),故環(huán)R不是冪級數(shù)弱Armendariz環(huán)。

證明 必要性。設(shè)

fα(x)=a0α+a1αx+…+apαxp+…,

gα(x)=b0α+b1αx+…+bqαxq+…

滿足fα(x)gα(x)=0。取

其中

充分性。設(shè)每一個Rα是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，

且滿足f(x)g(x)=0, 其中ai=(aiα)α∈Λ,bj=(bjα)α∈Λ∈R,i,j≥0。對任意的α∈Λ, 取

fα(x)=a0a+a1αx+…+apαxp+…,

gα(x)=b0a+b1αx+…+bqαxq+…

推論3

(i) 環(huán)直和R=⊕α∈ΩRα是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)當且僅當每一個Rα是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)；

(ii) 設(shè)R是一個環(huán)，e∈R是中心冪等元，則R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)當且僅當eR和(1-e)R都是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

(ii) 因為e∈R是中心冪等元，eR和(1-e)R都是R的理想， 由R=eR⊕(1-e)R以及情形(i)即知。

稱一個環(huán)R是Abel環(huán)，如果環(huán)R中每一個冪等元都是中心的。 由文獻 [10]的定理3.6知，冪級數(shù)Armendariz環(huán)是Abel環(huán)。下面的例子說明冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)未必是Abel環(huán)。

命題 4 設(shè)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，e∈R是任意冪等元， 則eRe是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

且滿足f(x)g(x)=0。因為環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，所以aibi∈J(R),對任意的i,j。又因為aibi∈eRe,所以aibi∈J(R)∩eRe=J(eRe)。因此環(huán)eRe是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

定理2 如果環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，滿足J(R)[x]=J(R[x]), 則R[x]是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

證明 設(shè)

并且F(y)G(y)=0, 其中

取kn=degf0+degf1+…+degfn+degg0+degg1+…+deggn+1,并且yn=xkn,其中deg (f)表示多項式f的次數(shù)。于是有

U(x)=f0+f1xk1+f2xk2+…+

fnxkn+…∈R[[x]]，

V(x)=g0+g1xk1+g2xk2+…+

gnxkn+…∈R[[x]]

即

U(x) =a00+a01x+a02x2+ … +a0txt+

a10xk1+a11xk1 + 1+a12xk1 + 2+ … +

a1txk1 + t+ … +

an0xkn+an1xkn + 1+an2xkn + 2+ … +

antxkn + t+…∈R[[x]],

V(x)=b00+b01x+b02x2+…+b0hxh+

b10xk1+b11xk1+1+b12xk1+2+…+b1hxk1+h+…+

bnoxkn+bn1xkn+1+bn2xkn+2+…+

bnhxkn+h+…∈R[[x]]

由kn的取法知，這樣構(gòu)造的U(x)是包含所有fi系數(shù)的冪級數(shù)，V(x)是包含所有g(shù)j系數(shù)的冪級數(shù)。由F(y)G(y)=0得U(x)V(x)=0。因為環(huán)R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，所以有aisbjl∈J(R),對任意的i,s,j,l。于是有fi(x)gj(x)∈J(R)[x],對任意的i,j。已知J(R[x])=J(R)[x],從而有fi(x)gj(x)∈J(R[x]),對任意的i，j。因此知R[x]是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

稱環(huán)R的一個元素μ是右正則的，如果對任意的r∈R,由μr=0可以推出r=0。類似地，可定義左正則元。如果μ既是左正則元又是右正則元，則稱μ是正則元。

定理3 設(shè)Δ是有限環(huán)R中的由中心正則元構(gòu)成的乘法封閉子集，如果R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)，則Δ-1R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

證明 因為R是有限環(huán)，Δ是一個左Ore集合， 所以對任何F(x),G(x)∈(Δ-1R)[[x]],有

其中u,v是中心正則元，ai,bj∈R,對任意的i,j。如果F(x)G(x)=0,取

則由

0=F(x)G(x)=

(uv)-kf(x)g(x)

得到f(x)g(x)=0。因為R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)， 所以有aibj∈J(R), 對任意的i,j,從而有αiβj=(uv)-1aibj∈J(Δ-1R)。因此Δ-1R是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

推論4 如果環(huán)R是有限環(huán)，則R[x]是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)當且僅當R[x:x-1]是冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)。

證明 令Δ={1,x,x2,…},則Δ是環(huán)R[x]中的乘法封閉左Ore子集。因為R[x:x-1]=Δ-1R[x],所以根據(jù)定理3知結(jié)論成立。

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Power series J-Armendariz rings

RENYanli1,LIMin2

(1. School of Information Engineering, Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing 211171, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China)

power series; power series Armendariz ring; power series J-Armendariz ring; weak power series Armendariz ring

2016-08-25 基金項目：國家自然科學(xué)基金 (11101217)；江蘇省自然科學(xué)基金 (BK20141476)

任艷麗(1965年生)，女；研究方向：結(jié)合環(huán)、結(jié)合代數(shù)；E-mail: renyanlisx@163.com

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.02.008

O

A

0529-6579(2017)02-0048-05