交錯(cuò)級(jí)數(shù)比較和比值判別法探討

藺夢(mèng)陽(yáng)

(南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 天津 300071)

0 引 言

高等數(shù)學(xué)中交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別有萊布尼茲判別法，即：對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

(1)

1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)比較和比值判別法討論

我們知道，正項(xiàng)級(jí)數(shù)有比較判別法[6]，那么，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有沒(méi)有和正項(xiàng)級(jí)數(shù)類(lèi)似的比較判別法呢？下面進(jìn)行一些討論.

對(duì)于“問(wèn)題1.1”，用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，可以得到下面的結(jié)論：

例1.3取交錯(cuò)級(jí)數(shù)

(2)

和

(3)

例1.4交錯(cuò)級(jí)數(shù)

(4)

和

(5)

從上面兩個(gè)問(wèn)題的討論中可以看到，交錯(cuò)級(jí)數(shù)有它的特殊性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法不能類(lèi)比到交錯(cuò)級(jí)數(shù)上來(lái).

對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)，如果an(an>0)本身滿(mǎn)足某些條件，可以得到交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的一些判定結(jié)論，下面定理1.2和1.3 的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

(1)當(dāng)ρ<1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)ρ>1或ρ=+∞時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.

(1)當(dāng)ρ<1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)ρ>1或ρ=+∞時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.

即

(6)

一方面，由于0<ε<ρ，顯然有

另一方面，對(duì)(6)令n從N開(kāi)始進(jìn)行連乘到N+k，則有

類(lèi)似于定理1.4的證明，可以得到定理1.4的另外一種表示形式如下：

2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法在交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性上的應(yīng)用

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)

(7)

如果它收斂，那么交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)就絕對(duì)收斂，因此可以把關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的許多判別方法應(yīng)用到交錯(cuò)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性判別上來(lái).上面的定理1.2和1.3就是這方面的應(yīng)用，此外，還有其它更好的結(jié)論.

(1)當(dāng)0<ρ<1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)條件收斂，ρ>1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)ρ=1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)可能是條件收斂，也可能是絕對(duì)收斂；

(3)當(dāng)ρ=0時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)可能是收斂，也可能是發(fā)散；

(4)當(dāng)ρ<0時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.

引理2.2[8]對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)

(8)

(1)當(dāng)0<ρ<1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2.2)條件收斂，ρ>1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2.2)絕對(duì)收斂；

(2)當(dāng)ρ=1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2.2)可能是條件收斂，也可能是絕對(duì)收斂；

(3)當(dāng)ρ=0時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2.2)可能是收斂，也可能是發(fā)散；

(4)當(dāng)ρ<0時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)(2.2)發(fā)散.

3 應(yīng)用舉例

所以交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉志高.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的對(duì)數(shù)判別法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26(2):194-196.

[2] 錢(qián)偉懿.交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)新判別準(zhǔn)則[J].高師理科學(xué)刊，2009，29(2):8-9.

[3] 蔡 敏，龔水法.交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂性的幾個(gè)結(jié)果及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2009, 12(3):29-31.

[4] 宋文超，董國(guó)雄，龔東山.一類(lèi)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性判定[J].高師理科學(xué)刊，2010，30(4): 9-11.

[5] 王宣欣.交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法[J].山東廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，2：66-67.

[6] 孫蘭敏，張 平.雙項(xiàng)交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的判定[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，10(1)：5-6，19.

[7] 張效成，張 陽(yáng)，徐 錟.經(jīng)濟(jì)類(lèi)數(shù)學(xué)分析(下)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2006.

[8] 鄭玉敏，劉玉娟.交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性的微分形式判別法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(3): 6-7.