關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的級(jí)數(shù)斂散性問(wèn)題

吳亞玲　廖春艷

[摘?????????? 要]? 級(jí)數(shù)斂散性的判定是數(shù)學(xué)分析課程中的重要內(nèi)容和教學(xué)難點(diǎn)，通過(guò)實(shí)例討論函數(shù)滿足二階導(dǎo)數(shù)且通項(xiàng)中帶f（）形式的一類級(jí)數(shù)的斂散性判定.

[關(guān)??? 鍵?? 詞]? 二階導(dǎo)數(shù);級(jí)數(shù);斂散性

[中圖分類號(hào)]? G642????????????? ????? ???[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A??????????????? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2019）34-0026-02

一、定理及推論

本文主要討論滿足二階導(dǎo)數(shù)的級(jí)數(shù)斂散性判定，重點(diǎn)分析通項(xiàng)中帶f（）的斂散性判定.

定理（二階導(dǎo)數(shù)判定定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，則級(jí)數(shù)f（）收斂的充要條件是f（0）=f'（0）=0.

證明（必要性）假設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且級(jí)數(shù)f（）收斂.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）在x=0的領(lǐng)域內(nèi)是連續(xù)的，則由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，f（）=0=f（0），又f'（0）==，假如極限值為非零的實(shí)數(shù)，即f'（0）≠0，則由級(jí)數(shù)的極限審斂法，級(jí)數(shù)f（）發(fā)散，同假設(shè)矛盾，所以f'（0）=0.

（充分性）設(shè)f（0）=f'（0）=0成立，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，則由Taylor展開(kāi)式

f（）=f（0）+f'（0）（-0）+（-0）2+0（），

故f（）=f'（0）+0（），故f（）-f''（0），n→∞，故f（）收斂.

我們也可將這個(gè)結(jié)論做一定的推廣：

推論 設(shè)f（x）在R上具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)且f'（x）≠0，則級(jí)數(shù)[f（）-f（0）]發(fā)散，[f（）-f（0）-f'（0）].

二、相關(guān)應(yīng)用

有了這個(gè)定理，在證明通項(xiàng)為f（）形式的級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論時(shí)可以考慮直接利用定理的結(jié)論.例如以下類型的題目：

例1 （1）（arcsin-）;（2）[+lnn-ln（n+1）];

解：（1）不難觀察，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)中為f（）形式，其中f（）=arcsin-，f（x）=arcsinx-x，f'（x）=-1，.函數(shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f（0）=f'（0）=0，由二階導(dǎo)數(shù)判定定理可證，級(jí)數(shù)收斂.

（2）通過(guò)簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)，可以將級(jí)數(shù)的通項(xiàng)化成f（）形式，其中f（）=+lnn-ln（n+1）=+ln，f（x）=x-ln（1+x），f'（x）=1-，f''（x）=，故函數(shù)f（x）在x=0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且f（0）=f'（0）=0，由二階導(dǎo)數(shù)判定定理，知級(jí)數(shù)收斂.

讀者也可自行利用二階導(dǎo)數(shù)判定級(jí)數(shù)的斂散性定理證級(jí)數(shù)（-1）n（1+-]及的斂散性.

在一些考研和競(jìng)賽題中，也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)此類題目，但是需要給出完整的證明，我們可以借助證明定理的方法來(lái)證明此類題目.

例2 設(shè)函數(shù)f（x）在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且有=0，證明級(jí)數(shù)收斂且f（）絕對(duì)收斂.

證明 因?yàn)?0，故f（x）=0=f（0），且f'（0）==0，將函數(shù)f（x）在x=0處二階泰勒展開(kāi)，為f（x）=f（0）+f'（0）（x-0）+（x-0）2+0（x2）.

故f（）=f'（0）+0（），有-f''（0），f（）-f''（0），n→∞，則收斂且f（）絕對(duì)收斂.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）二階可導(dǎo)，且有f''（0）>0和=0，求級(jí)數(shù)f（）xn的收斂域.

解：令an=f（），類似例2的證明，可知f（0）=0，

f'（0）=0，于是=====.

注 若無(wú)條件“函數(shù)f（x）在x=0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”，則結(jié)論不成立。反例：f（x）=.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=0處不具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

f（）==，

又≥>，故發(fā)散.

在一些題目中，雖然通項(xiàng)中能建立y（）的表達(dá)式，但是給出的條件并不能滿足二階導(dǎo)數(shù)判定定理的條件，這時(shí)候需要進(jìn)一步分析給出的條件，挖掘其中蘊(yùn)含的條件，利用證明定理的方法類似去證明.

例4 已知函數(shù)y=y（x）滿足等式y(tǒng)'=x+y，且y（0）=1，討論級(jí)數(shù)[y（）-1-]的斂散性.

解：因?yàn)閥'=x+y，所以y''=1+y'.由y（0）=1得y'（0）=1，y''（0）=2，由函數(shù)y=y（x）的二階Taylor展開(kāi)式

y（）=y（0）+y'（0）++0（），

知y（）-1-在當(dāng)n→∞時(shí)與等價(jià).因級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)必收斂，且是絕對(duì)收斂.

題設(shè)條件蘊(yùn)含y'（0）=1，y''（0）=2，從而可將函數(shù)y=y（x）在x=0處展開(kāi)成二階Taylor展開(kāi)式，建立y（）的表達(dá)式.

參考文獻(xiàn)：

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[2]陳兆斗，黃光東，趙琳琳，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

◎編輯 馮永霞