反常積分?jǐn)可⑿缘腖′ Hospital判別法

趙艷輝

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反常積分?jǐn)可⑿缘腖′ Hospital判別法

趙艷輝

(湖南科技學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系,湖南永州, 425100)

根據(jù)L′ Hospital法則, 運(yùn)用反常積分比較判別法, 討論了無窮區(qū)間反常積分的L′ Hospital判別法。

反常積分; 斂散性; 冪函數(shù); L′ Hospital法則

1 有關(guān)引理及定義

引理1 已知新冪函數(shù)有連續(xù)單調(diào)的導(dǎo)數(shù), 則有如下性質(zhì): (1) 零冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處單調(diào)遞減; (2) 冪指數(shù)小于1的有冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處單調(diào)遞減; (3) 冪指數(shù)大于1的有冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處單調(diào)遞增; (4) 無窮冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在無窮處都單調(diào)遞增。

下面對(1)做簡單證明: (反證法)假設(shè)()是零冪函數(shù), 不妨設(shè)()單調(diào)遞增, 則, 使得當(dāng)充分大時, 有()＞()＞0, 且當(dāng)＞時()單調(diào)遞增, 則有。所以=＞0, 這與零冪函數(shù)的性質(zhì)矛盾, 所以性質(zhì)(1)成立。對反常積分?jǐn)可⑿缘难芯客ǔ６际桥c積分進(jìn)行比較而得出其斂散性的, 如文獻(xiàn)[1–2]。文獻(xiàn)[3]對無窮積分的斂散性提出了數(shù)列極限式的判別法, 但它們都要借助積分以外的函數(shù)進(jìn)行。本文將運(yùn)用L′ Hospital法則的思想, 對分式形式的反常積分找到與原積分有相同斂散性的積分或者類似積分(即Cauchy判別法的極限形式), 通過判定新積分的斂散性, 得出原積分的斂散性。

2 無窮區(qū)間反常積分的L′ Hospital判別法

由上可知若()與有冪函數(shù)等價, 則與等價, 其中為常數(shù)。

綜上所述, 若()和()均是有冪函數(shù), 當(dāng)時, 有及, 所以。即有與有相同的斂散性。

若()是無窮冪函數(shù), 當(dāng)時, 如果()是零冪函數(shù)或有冪函數(shù),, 則與均發(fā)散; 當(dāng)()是無窮冪函數(shù)時, 若()比()低階, 則與均發(fā)散; 當(dāng)()比()高階時, 由于()也是新冪函數(shù), 則() =()(), 其中()為新冪函數(shù)。當(dāng)()是零冪函數(shù)且時,=+, 而此時易知≤, 因此。因此與均發(fā)散; 而()為有冪函數(shù)且當(dāng)＜=+＜2, 則與有相同的的斂散性。而當(dāng)()是無窮冪函數(shù)且時,＜, 故與同收斂。因此, 若()和()是在無窮區(qū)間上的新冪函數(shù)而()不是零冪函數(shù),與有相同斂散性。

定理2 若()和()是無窮區(qū)間上的新冪函數(shù), 且()是零冪函數(shù), 若發(fā)散, 則發(fā)散。

證明 (i) 若()是零冪函數(shù), 顯然根據(jù)積分上限函數(shù), 由于在也為無窮, 所以＜＜, 同理＜＜, 所以也發(fā)散。

(ii) 若()是有冪函數(shù), 當(dāng)時,,≥(因?yàn)閱握{(diào)遞減), 所以。根據(jù)比較判別法, 若發(fā)散, 則發(fā)散。更進(jìn)一步, 如果()不是冪指數(shù)為1的有冪函數(shù), 則和有相同的斂散性。若()的冪指數(shù)大于1, 則()為有冪函數(shù), 它與()的商為冪指數(shù)大于1的有冪函數(shù); 而若()的冪指數(shù)小于1, 則()是冪指數(shù)大于-1的負(fù)冪函數(shù), 它與()的商為冪指數(shù)小于1的有冪函數(shù)。經(jīng)分析知和有相同的斂散性。

(iii) 若()是無窮冪函數(shù), 則容易證明和同時收斂, 與題意矛盾, 結(jié)論成立。

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳紀(jì)修. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 5, 185.

[2] 溫朝暉, 李天勝, 朱存斌. 無窮積分?jǐn)可⑿缘囊粋€新判別法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2005, 21(2): 111–112.

[3] 何美. 反常積分?jǐn)可⑿詳?shù)列式判別法[J]. 大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報, 2003, 15(1):66–67.

(責(zé)任編校:劉剛毅)

Convergence and divergence criterion of improper integral L′ Hospital criterion

Zhao Yanhui

(Department of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425100, China)

L′ Hospital criterion of the infinite interval improper integral are discussed respectively according to L′ Hospital rule and comparative criterion of improper integral.

convergence and divergence criterion; improper integral; power function; L′ Hospital criterion

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.004

O 172.2

1672–6146(2015)02–0007–03

趙艷輝, tang09zhao@163.com。

2014–12–15

湖南省教改課題[2012]401, No: 428。