對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的序關(guān)系及其應(yīng)用

宋明娟， 朱思宇

(黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱150022)

1 引 言

對(duì)數(shù)函數(shù)作為科學(xué)技術(shù)中的常用函數(shù)，經(jīng)常出現(xiàn)在反常積分表達(dá)式和無窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)中,要判定反常積分和無窮級(jí)數(shù)的斂散性目前有比較判別法、比較判別法的極限形式、阿貝爾判別法及狄利克雷判別法、對(duì)數(shù)判別法，比值判別法和拉貝判別法等[1-4]. 但最常用的方法還是比較審斂法，即將待判定函數(shù)與冪為-p的冪函數(shù)比較大小，視p與1的序關(guān)系來判定其斂散性，這就需要知道對(duì)數(shù)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)與何種冪函數(shù)有確定的序關(guān)系.到目前為止這種序關(guān)系還沒有在文獻(xiàn)及教材中查到，人們解決這類問題，還只能用試探的方式去尋找，這既影響了解題速度，也加大了解題難度.為此本文給出并證明了對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的七種序關(guān)系.并應(yīng)用這些序關(guān)系判別了6種被積函數(shù)中含有對(duì)數(shù)因子的反常積分的斂散性和1個(gè)一般項(xiàng)含有對(duì)數(shù)函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的斂散性.

實(shí)踐表明，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域很容易就能在這些序關(guān)系中找到合適的冪函數(shù)做比較對(duì)象，從而能準(zhǔn)確地為含有對(duì)數(shù)函數(shù)因子的反常積分或無窮級(jí)數(shù)的斂散性做出判斷.

2 對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的序關(guān)系

命題若0<λ≤e, 則對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)有以下序關(guān)系：

(i)λlnx≤x(x>0).

(iii) lnx≤x-1/λ(0

lnx≤x-2/5(0

(iv) ln(a-x)≤(a-x)-1/λ(0

(v) ln(1+x)≤x(x≥0).

(vi) lnx≤x-1(x≥1).

證(i) 設(shè)f(x)=λlnx-x(x>0), 則有

顯然x=λ是f(x)的唯一駐點(diǎn)且f″(x)<0,于是x=λ是f(x)的最大值點(diǎn).

因?yàn)?當(dāng)0<λ≤e時(shí)，

從而有

f(x)≤f(λ)≤0 (x>0).

即序關(guān)系 (i)λlnx≤x(x>0)成立.

令λ=2,λ=2.5，則分別有

取λ=2,λ=2.5，則分別有

lnx≤x-2/5(0

(iv) 當(dāng)0

(vi) 當(dāng)x≥1時(shí)，由序關(guān)系(v)有

lnx=ln(1+(x-1))≤x-1.

即序關(guān)系(vi)成立.

3 對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的序關(guān)系在判別反常積分收斂性中的應(yīng)用

例1判別下列反常積分的斂散性

(5) 該瑕積分的瑕點(diǎn)為x=0和x=1. 因?yàn)?/p>

所以

(6) 該積分為無窮積分. 當(dāng)x≥1時(shí)，

4 對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的序關(guān)系在判別級(jí)數(shù)收斂性中的應(yīng)用

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析的典型問題與方法[M].北京 高等教育出版社,1993.

[3] 徐晶．一種反常積分和正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2005，8(3)：25—26．

[4] 龍愛芳.兩種反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012,28(4)：140-143.