用傅里葉級(jí)數(shù)求自然數(shù)冪和

李衛(wèi)高， 李兆強(qiáng)

(漯河醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校, 漯河462002)

(1)

其中

而

于是

為表示自然數(shù)冪和，在(1)式中依次令x=1,2,3,…,n，得到

……

把以上n個(gè)等式相加，得

此時(shí)

m=2kn,k=1,2,3,….

易知這些項(xiàng)中每一個(gè)括號(hào)的和都等于n，于是

或者

(2)

例2r=3，m為偶數(shù)時(shí)，

代入(2)式，

r為偶數(shù)時(shí)，

r為奇數(shù)時(shí)，

同理可得

為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，把它們統(tǒng)一寫成

(3)

不難看出，這種一般表達(dá)式和歷史上伯努利冪和公式雖形式不同，但是相通的.同時(shí)和zeta函數(shù)建立了聯(lián)系，(3)式本身包含了求ζ(2k)的計(jì)算方法，例如求ζ(2)，ζ(4).

令n=1,r=2，

令n=1,r=4，

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 陳傳璋,等.數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2] 羅見(jiàn)今．自然數(shù)冪和公式的發(fā)展[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2004，7(4)：56-61.