從三屆全國大學生數(shù)學競賽看線性代數(shù)在高等數(shù)學中的應用

陳桂東， 崔周進

(1.解放軍理工大學理學院，江蘇南京211101； 2. 江蘇海事職業(yè)技術(shù)學院，江蘇南京211170)

全國大學生數(shù)學競賽是一項面向本科生的全國性高水平學科競賽，它為青年學子提供了一個展示數(shù)學基本功和數(shù)學思維的舞臺. 自2010年起已連續(xù)舉辦三屆，現(xiàn)已成為全國影響最大、參加人數(shù)最多的學科競賽之一.競賽分為數(shù)學專業(yè)和非數(shù)學專業(yè)組，其中規(guī)定的非數(shù)學專業(yè)組競賽內(nèi)容為理工科本科教學大綱所包含的的高等數(shù)學教學內(nèi)容，并未涉及到線性代數(shù)，然而在這三屆競賽中都出現(xiàn)了與線性代數(shù)內(nèi)容直接或間接相關(guān)的試題，體現(xiàn)了線性代數(shù)對高等數(shù)學較強的滲透性. 本文對此進行了分析，希望能夠?qū)@兩門課的教學工作有所裨益.

1 矩陣、行列式在高等數(shù)學中的應用

解析 該題為第一屆競賽的決賽試題. 因為

由此推出

的元素之和，將其記為sumA. 另一方面，記

則

于是

從而命題得證.

注1 估計F(n)的值之所以困難，是由于其中e-n系數(shù)的形式復雜而難以理清，當采用矩陣表示以后，其形式變得簡潔明了而便于處理. 事實上矩陣、行列式在高等數(shù)學中的向量積、混合積、旋度、Stokes公式等知識點中都有具體的應用，盡管它們大多是作為速記符號出現(xiàn)的，卻能夠使得這些知識點變得清晰而便于掌握，也體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔之美. 另一方面，作為現(xiàn)代數(shù)學語言的矩陣的作用遠不止于此，矩陣的對角化在解線性微分方程組中的應用[1]充分說明了線性代數(shù)在高等數(shù)學中的廣泛應用.

2 線性方程組在高等數(shù)學中的應用

例2設函數(shù)f(x)在點x=0的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導數(shù)，且f(0),f′(0),f″(0)均不為零. 證明存在唯一一組實數(shù)k1,k2,k3，使得

解析 該題為第二屆競賽的決賽試題. 由題設可知，在x=0的某鄰域內(nèi)

于是

k1f(h)+k2f(2h)+k3f(3h)-f(0)

=(k1+k2+k3-1)f(0)+(k1+2k2+3k3)f′(0)h+(k1+4k2+9k3)f″(0)h2+o(h2).

其系數(shù)行列式為不等于零的Vandermonde行列式，故方程有唯一解，從而命題得證.

注2 線性方程組不僅是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，在高等數(shù)學多元函數(shù)微分學、空間解析幾何、微分方程等章節(jié)中也有著重要的應用，同時也是數(shù)學解決實際問題的一個常用工具.

3 正交變換在求曲面積分中的應用

此時單位球面x2+y2+z2=1變成u2+v2+w2=1，則

注3 該命題即為普阿松公式. 正交變換能夠保持幾何體的形狀、大小不變這一性質(zhì)在積分學中有著廣泛的應用[2]. 需要說明的是證明中我們未采用曲面的參數(shù)方程，而采用了學生更加熟悉的微元法來確定新坐標系下的面積微元表達式. 事實上對于某些積分曲面，如果不知道或者很難使用參數(shù)形式表示出來，則可嘗試正交變換的方法[3].

在競賽中，以上三題，尤其是例1和例3，參賽學生的得分率都非常低，這一方面反映了學生欠缺將數(shù)學不同學科知識相融合的能力. 另一方面也反映了我們在教學、競賽輔導中缺少相關(guān)的引導. 事實上，線性代數(shù)與高等數(shù)學是大學理工科的兩門重要的基礎課．雖然這兩門課解題方法有些差異，卻密切相關(guān)，在很多方面都有內(nèi)在的滲透. 例如二次型在函數(shù)極值、不等式中有著重要的應用，線性空間理論也可用于數(shù)列極限的求解. 而另一方面，高等數(shù)學中的許多內(nèi)容，譬如函數(shù)的連續(xù)性，導數(shù)等都可廣泛地應用于線性代數(shù)眾多章節(jié)之中[4]. 如何在教學中將這兩門課的內(nèi)容更好地交叉、融合，近三屆的全國大學數(shù)學競賽在命題中作了積極的探索，給了我們許多有益的啟示. 筆者認為, 這也是我們大學數(shù)學教學工作者所面臨的一個有待進一步研究的課題.

[參 考 文 獻]

[1] 李明泉. 線性代數(shù)在高等數(shù)學中的一些應用[J]. 長春師范學院學報，2007, 26 (4)：27-30.

[2] 凌征球, 龔國勇，龔文振. 高等代數(shù)在數(shù)學分析解題中的某些應用[J].玉林師范學院學報，2010, 31 (5)：34 -37.

[3] 米永生，梁靜. 線性代數(shù)方法在高等數(shù)學中的滲透[J]. 石家莊學院學報, 2007, 9(6): 17-21.

[4] 米永生. 線性代數(shù)與微積分學問題與解法的滲透[J]. 大學數(shù)學,2007, 23(2)：108-111:185-189.