(n-1)維曲面所圍空間體積的計(jì)算公式

陳凌蛟

(東南大學(xué)吳健雄學(xué)院，南京210096)

1 引 言

在高等數(shù)學(xué)理論[1-6]中，對于求解光滑閉曲線(曲面)所圍區(qū)域面積(體積)的問題，由于在方法上采用了Green公式，難以推廣到n維空間求取光滑閉曲面所圍區(qū)域的體積.本文則從變量代換的角度，用類似極坐標(biāo)變換的方式，將閉區(qū)域的內(nèi)部用它的邊界表示出來，再利用重積分的變量代換公式，求出閉區(qū)域的面積.進(jìn)一步地，將這一思路應(yīng)用到高維空間當(dāng)中，得出了高維空間中光滑閉曲面所圍區(qū)域體積計(jì)算的一個(gè)新公式.文章的最后，給出了本文的新方法與新公式的幾個(gè)應(yīng)用舉例，尤其在單純形體積計(jì)算上，體現(xiàn)出了本文所得結(jié)果的實(shí)用價(jià)值.

2 簡單閉區(qū)域面積計(jì)算公式新的證明

如引言所述，在一些高等數(shù)學(xué)的文獻(xiàn)[5，6]里，求簡單閉曲線所圍區(qū)域面積的公式，是作為Green公式的一個(gè)推論給出的.Green公式在二維平面中確實(shí)有很廣的應(yīng)用[7]，但由于Green公式本身是針對平面圍線積分的，所以這種方法并不便于向n維空間做推廣.本文為了利于把求閉曲線所圍區(qū)域面積的公式推廣向n維空間，給出了下面完全不同的證明方法.

定理1設(shè)D為平面上包含原點(diǎn)的有界區(qū)域，其邊界為光滑的簡單閉曲線

且滿足

x′(t)y(t)-y′(t)x(t)≠0,

則D的面積為

證注意區(qū)域D可以表示為D=(x,y)|x=x(t)·u,y=y(t)·u,a≤t≤b,0≤u≤1,并記D*=(t,u)|a≤t≤b,0≤u≤1.

當(dāng)u≠0時(shí)，

根據(jù)有界閉區(qū)域上重積分的變量代換定理，得到

關(guān)于定理1的幾點(diǎn)注記：

注1 定理1中的條件x′(t)y(t)-y′(t)x(t)≠0是為了保證從xOy平面到tOu平面的映射滿足一一對應(yīng)關(guān)系.事實(shí)上，只要閉區(qū)域D內(nèi)滿足x′(t)y(t)-y′(t)x(t)≥0≤0，且等于0的所有點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集Ds的測度為0，上述定理依然成立.特別地，當(dāng)Ds為有限集時(shí)，定理成立.

注2 定理1中的條件“包含原點(diǎn)”是為了保證從xOy平面映射到tOu平面時(shí)，可以直接把區(qū)域D表示為D=(x,y)|x=x(t)·u,y=y(t)·u,a≤t≤b,0≤u≤1.而對于不包含原點(diǎn)的情形，根據(jù)積分與坐標(biāo)平移的無關(guān)性，可以先將閉區(qū)域D做適當(dāng)平移，使得D包含原點(diǎn)，這就又回到了定理1中的條件.

3 高維空間區(qū)域體積計(jì)算的新方法

如上節(jié)所述，本文對定理1給出新的證明方法是為了能夠在n維空間做有效的推廣.事實(shí)上，這一方法除了通過變量代換用高維區(qū)域的邊界條件表示其內(nèi)部外，只需要再結(jié)合n重積分換元公式[8]，就可以推廣到n維空間中.下面的定理對這一推廣給出了完整的表述和證明.

定理2設(shè)Dn為n維空間上包含原點(diǎn)的有界區(qū)域，其邊界為光滑的n-1維簡單閉曲面

(x1u1,u2,…,un-1,x2u1,u2,…,un-1,…,xnu1,u2,…,un-1)|ai≤ui≤bi,1≤i≤n,

且滿足

則它的體積為

證區(qū)域Dn可以表示為

根據(jù)有界閉區(qū)域上重積分的變量代換定理，得到

關(guān)于定理2的幾點(diǎn)注記：

注3 類似于注記1的討論，還可以在高維空間中論證，只要閉區(qū)域Dn內(nèi)滿足

且其等于零的所有點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集Dns的測度為0, 上述定理依然成立.特別地，當(dāng)Dns為有限集時(shí)，定理成立.

注4 在定理2中，n=2時(shí)，就得到定理1的結(jié)果；n=3時(shí)，就得到3維空間中閉區(qū)域的體積計(jì)算公式.

4 簡單應(yīng)用舉例

接下來給出幾個(gè)具體的算例.

1)設(shè)簡單閉曲線

l=x(t),y(t)|x(t)=cost+a,y(t)=sint+b,t∈0,2π,

求l所圍區(qū)域D的面積S.

解隨著參數(shù)a,b的變化，閉區(qū)域D內(nèi)并不總是包含原點(diǎn).通過平移變換

將閉區(qū)域D映射到Ω=x*(t),y*(t)|x*(t)=cost,y*(t)=sint,t∈0,2π,則區(qū)域Ω是包含原點(diǎn)的.

注意到x*′(t)y*(t)-y*'(t)x*(t)=-sin2t-cos2t=-1<0,且平移變換前后對應(yīng)區(qū)域的面積不變，可以應(yīng)用定理1，有

由參數(shù)方程可以看出，區(qū)域D就是一個(gè)單位圓.上式所得結(jié)果與我們熟知的“單位圓面積為π”相吻合.

解橢球面的參數(shù)方程為：

3) 求標(biāo)準(zhǔn)n-單純形Δn=(x1,x2,…,xn)∈,?i,xi≥所圍區(qū)域D的體積Vn.

當(dāng)n≥3時(shí),通過變量代換

則

故有

且等于零的所有點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集測度為0，根據(jù)注記3，可以應(yīng)用定理2，得到

綜上，即有

注5 本文所舉的應(yīng)用中，前面兩個(gè)是較為平凡的情形，而第三個(gè)例子則較好地顯示了本文所給新方法的精彩之處.n-單純形在最優(yōu)化算法、計(jì)算幾何等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用[9]，而求取標(biāo)準(zhǔn)n-單純形的體積雖然只是一個(gè)基本的問題，卻不是一件容易的事.單純形理論中的求解方法[10]需要借用幾何的觀點(diǎn)，引進(jìn)面的概念.分析數(shù)學(xué)里的處理方法[5]則需要采用數(shù)學(xué)歸納法.然而，本文所給出的新算法，可以通過巧妙地引入變量代換，直接計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)n-單純形，既擺脫了對幾何的依賴，又避免了數(shù)學(xué)歸納法的繁瑣.由此可見，本文提供的新方法在求取高維區(qū)域體積問題上，具有一定的優(yōu)勢.

5 結(jié)束語

本文著重討論了在已知邊界情形下如何求解閉區(qū)域的面積(體積)的一種新方法，并將之推廣到了n維空間，得到了一個(gè)全新的公式.這一方法可以看作是對Green公式求面積和Gauss公式求體積領(lǐng)域的統(tǒng)一和推廣.給出的幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例，體現(xiàn)了本文結(jié)果的意義，以及在高維區(qū)域體積計(jì)算領(lǐng)域里的實(shí)用價(jià)值.

致謝本文在撰寫過程中，得到了東南大學(xué)數(shù)學(xué)系孫志忠教授和電氣工程學(xué)院陳歆技教授的悉心指導(dǎo)和熱心幫助，在此表示最衷心的感謝！

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Richard Courant, Fritz John. Introduction to calculus and analysis[M]. New York: Interscience Publishers,1965.

[2] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis[M]. New York: Macgraw-Hill,1976.

[3] 菲赫金哥爾茨. 《微積分學(xué)教程》 [M].北京：高等教育出版社, 2006.

[4] 徐森林,薛春華. 《數(shù)學(xué)分析》[M].北京：清華大學(xué)出版社, 2006.

[5] 陳紀(jì)修，等. 《數(shù)學(xué)分析》 [M].北京：高等教育出版社, 2004.

[6] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 《高等數(shù)學(xué)》[M].北京：高等教育出版社, 2007.

[7] 蒲和平，李厚彪 何林蕓. 從等周不等式談Green公式的一個(gè)應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013,29(2) ：82-85.

[8] 袁俊華.n重積分換元公式的證明[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2013,29(2) ：126-130.

[9] 燕子宗，等. 線性規(guī)劃的單純形法及其發(fā)展[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2007,29(1)：1-14.

[10] 沈文選. 單形論導(dǎo)引[M].長沙: 湖南師范大學(xué)出版社, 2000.