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    無窮乘積的斂散性判別準則與性質(zhì)研究

    2021-12-12 09:58:20輝,許
    關(guān)鍵詞:散性乘積級數(shù)

    張 輝,許 娟

    (安慶師范大學數(shù)理學院,安徽 安慶 246133)

    無窮級數(shù)理論是“數(shù)學分析”[1]課程中非常重要的內(nèi)容,在現(xiàn)行的教材中已經(jīng)做了較為全面的闡述,特別是對正項級數(shù)的斂散性理論有較為深入的探討。本文的主要工作是對無窮乘積的斂散性做一些基本研究,這部分內(nèi)容在現(xiàn)有教材中沒有涉及,相關(guān)文獻[2-4]討論的也不夠具體。作為和無窮級數(shù)相對應的一種形式,無窮乘積在許多場合都會遇到,因此一個較為本質(zhì)的闡述有助于更好地理解無窮乘積的有關(guān)特征。

    1 無窮乘積斂散性的概念

    關(guān)于無窮乘積斂散性的基本概念,在不同的教材或講義中說法不同,但本質(zhì)上是一樣的,本文的定義主要參考文獻[5]。

    定義1給定數(shù)列,稱為無窮乘積。

    為了更好地刻畫無窮乘積的斂散性概念,將無窮乘積的前n項之積記為,并稱An為無窮乘積的前n項部分積。

    定義2如果部分積數(shù)列收斂于A(即=A),則稱無窮乘積收斂,并稱A為無窮乘積的積,記作。如果是發(fā)散數(shù)列,則稱無窮乘積發(fā)散。

    有了無窮乘積斂散性的概念后,可以利用定義來判斷其斂散性。

    例1證明。

    證明記,將上式兩邊同時乘上,則有

    一般情況下,部分積數(shù)列的極限很難求出,想要通過直接求部分積數(shù)列的極限來判斷無窮乘積的斂散性非常困難,因此,尋找一些有效的判別準則就尤為重要。

    2 無窮乘積斂散性判別準則

    在進行斂散性判別討論之前,首先給出無窮乘積收斂的必要條件,這個結(jié)果在文獻[4]中有描述,這里給出一個更加簡單的證明方法。

    定理1無窮乘積收斂于非零值的必要條件是=1。

    證明不妨假設(shè)=A>0,則存在N∈?+,使得對于任意的n>N,有An>0,則有

    注1定理1的結(jié)果說明如果無窮級數(shù)收斂于非零值,則數(shù)列中負數(shù)至多只有有限個。為了避免負數(shù)帶來技術(shù)上的混淆,本文只討論an>0的情形。

    注2對于收斂于零值的無窮乘積級數(shù),定理1的必要性并不一定成立,例如取an=,則有

    考慮到無窮級數(shù)于無窮乘積之間的聯(lián)系,可以將無窮乘積改寫為指數(shù)形式:

    由式(1)可以看出

    上面的關(guān)系式(2)并不是相互等價的,只是一個充分條件,因為如果級數(shù),則無窮乘積收斂到零。為了使級數(shù)理論能夠更好地應用到無窮乘積上去,下面分兩種情形來進行討論。

    情形1當an>1時,顯然不可能出現(xiàn),因此有

    從而,在an>1情形下關(guān)系式(2)便是相互等價的,故可以利用正項級數(shù)的判別準則來判定無窮乘積的斂散性,于是可得無窮乘積的極限形式的比式判別法和根式判別法。

    定理2(比式判別法)若=q,則當q<1時,無窮乘積收斂;當q>1或q=+∞時,無窮乘積發(fā)散。

    定理3(根式判別法)若=l,則當l<1時,無窮乘積收斂;當l>1或q=+∞時,無窮乘積發(fā)散。

    注3值得指出的是,類似于無窮級數(shù),當q=1或l=1時,上述判別準則無法判別,例如事實上是發(fā)散的,但是,因此不能直接利用比式判別法或根式判別法進行判斷,對于此種情形可以利用如下的判別法進行判斷。

    定理4如果正項級數(shù)收斂,則收斂。

    證明收斂時,利用無窮小的性質(zhì),有

    情形2當an<1時,因為可能出現(xiàn)的情形,所以沒有關(guān)系式(2)所表達的等價形式,利用收斂收斂,則有如下的判別準則。

    定理5(1)若=q,則當q<1時,無窮乘積收斂;(2)若=l,則當l<1時,無窮乘積收斂。

    顯然,定理5只給出了q<1和l<1時的判別準則,對于q>1或l>1時,定理5似乎并沒有給出無窮乘積發(fā)散的判別準則。事實上,在此種情形下,無窮乘積不可能出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。為了更好地闡述此種情形,給出如下定理。

    定理6假設(shè)數(shù)列{an}(an>0)是一個嚴格單調(diào)遞增的數(shù)列,則數(shù)列{an}一定是收斂于某一個確定的值或者收斂于非正常極限+∞。

    證明不妨假設(shè){an}不收斂于一個確定的值,如果也不收斂于+∞,由單調(diào)性可知,一定存在M>0,使得對于任意的n∈N,都有an<M,即數(shù)列有界,而根據(jù)單調(diào)有界原理可知,數(shù)列{an}一定收斂,這與假設(shè)矛盾,從而結(jié)論成立。

    利用定理6可以得到,當an<1時,級數(shù)的斂散性只有兩種情形,即收斂于一個確定的值或,再結(jié)合式(2)可知無窮乘積一定收斂。

    例2考察無窮乘積的斂散性。

    分析借助無窮級數(shù)的斂散性來考察,由于無窮級數(shù),而

    3 無窮乘積斂散性質(zhì)

    通過上述研究發(fā)現(xiàn),收斂的無窮乘積可以轉(zhuǎn)換成收斂的正項級數(shù)。一個有趣的問題是能否將收斂的正項級數(shù)的一些性質(zhì)推廣到無窮乘積。下面的性質(zhì)就是正項級數(shù)理論中柯西定理的推廣。

    性質(zhì)1若無窮乘積與分別收斂于A、B,則無窮乘積收斂于AB。

    證明不妨假設(shè)和的部分積分別為An和Bn,則的部分積為

    由極限的乘積運算性質(zhì)可知

    性質(zhì)2若無窮乘積分別收斂于A、B≠0,則無窮乘積收斂于。

    注4需要指出的是無窮級數(shù)的性質(zhì)不是都可以推廣到無窮乘積上去,如無窮乘積與分別收斂,卻不能推導出也收斂。

    4 結(jié)束語

    本文從無窮乘積定義出發(fā),通過取對數(shù)的方法,將無窮乘積問題與無窮級數(shù)關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化,結(jié)合無窮級數(shù)理論對無窮乘積的斂散性給出了一些基本且必要的討論,包括無窮乘積的斂散性判別準則、無窮乘積的斂散性性質(zhì)等。雖然探討這些方法和性質(zhì)的出發(fā)點相對比較樸素,但是對于今后進一步深入研究無窮乘積斂散性的理論是非常必要的。

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