無窮級數(shù)斂散性的判別方法探討

顧 榮

江蘇財經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇淮安 223003

是不是無窮多項的和一定存在呢？我們再來看一個例子：

1+2+4+8+……

基本的數(shù)學(xué)知識告訴我們，正數(shù)相加得到的結(jié)果肯定仍然是正數(shù)。這里我們假設(shè)1+2+4+8+……=，等式左側(cè)我們可以變形為：

1+2×(1+2+4+……)=1+2

所以，我們可以得到：=1+2，由此得出=-1，即1+2+4+8+……=-1。顯然，這個結(jié)果是錯誤的，原因就在于我們的假設(shè)出了問題。有限項的和是一個確定的數(shù)，那么無窮多項的和也一定是確定的數(shù)嗎？有限項和的運算方法對無窮多項還適用嗎？從有限到無限僅僅是簡單的數(shù)的累加嗎？這些其實就是無窮級數(shù)的斂散性問題。

一、無窮級數(shù)斂散性的判別法及其局限性

(一)利用部分和數(shù)列的極限情況判別

在前面“一尺之錘”的例子中，要計算一直取下去，所取得的木棒長度，我們可以先計算取了天后，所得的木棒長度，則:

顯然以，，……為項，構(gòu)成了一個數(shù)列{}，該數(shù)列稱之為部分和數(shù)列。

當→∞時，有→1，這也就意味著當木棒一直取下去，所取得的木棒總長度無限接近于1。即：

在運用基本判別法討論無窮級數(shù)斂散性時，要求出前項和，我們經(jīng)常會用到一種方法“拆項相消”。

但是這種方法只適用于部分和是容易求的，或者一般項是容易拆項的，且求和后可以“相消”的級數(shù)，但是對于一般項較為復(fù)雜的級數(shù)，該方法就難以判別斂散性。

(二)利用級數(shù)的性質(zhì)進行判別

還有一些特殊級數(shù)我們可以通過將原級數(shù)加括號，如果加括號后的級數(shù)發(fā)散，則可以得到原級數(shù)也發(fā)散。

例如：

將級數(shù)兩項兩項加括號后，可得：

由調(diào)和級數(shù)斂散性，可得加括號后的級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)也發(fā)散。但是如果加括號后的級數(shù)收斂，則無法得到原級數(shù)一定收斂。因此，對于一些簡單的級數(shù)，我們可以利用性質(zhì)快速判別斂散性。

(三)利用級數(shù)收斂的必要條件判別

由級數(shù)收斂的必要條件告訴我們，判別級數(shù)的斂散性，首先要分析該級數(shù)的一般項的極限是否為0，如果一般項的極限不為0，則直接可以得到級數(shù)發(fā)散。

(四)利用比較、比值、根植審斂法判別

比較、比值、根植判別法使用時首先需要清楚的是，它們只適用于正項級數(shù)的斂散性判別，因此在判別級數(shù)斂散性之前要先辨析該級數(shù)是不是正項級數(shù)。

比值、根植判別法在使用時，一般用于中出現(xiàn)了、、!等情況，但是當極限值為1的時候，這兩種方法失效。

(五)利用萊布尼茲審斂法判別

萊布尼茲審斂法只適用于交錯級數(shù)的判別，并且只能判別收斂的交錯級數(shù)。該審斂法在使用時需要討論一般項的單調(diào)性，所以有時需要通過函數(shù)的單調(diào)性來討論。

(六)利用絕對收斂來判別

二、無窮級數(shù)斂散性的判別流程及舉例

級數(shù)斂散性的判別方法有很多，但是有些判別方法又具有一定的局限性，只能判別某一類級數(shù)的斂散性。這就導(dǎo)致很多學(xué)生在面對具體級數(shù)斂散性的討論時，徒有很多方法，卻往往不知所措。因此，在掌握了各種判別方法的基礎(chǔ)上，要能夠靈活運用各種判別方法，取長補短，準確地分析具體問題的解決方法，就需要理清楚級數(shù)斂散性判別的流程。

斂散性判別流程圖

首先看級數(shù)的一般項的極限是否為0，如果不為0，則可以直接判定該級數(shù)發(fā)散；若極限等于0，則需觀察級數(shù)是否為正項級數(shù)；若是，則利用比值或根植判別法判別，當比值、根植判別法失效時需要使用比較判別法或者利用部分和數(shù)列極限情況來討論斂散性。如果不是正項級數(shù)，則需根據(jù)項的排列規(guī)律分析級數(shù)是否為交錯級數(shù)。若是，則使用萊布尼茲判別法判斷級數(shù)是否滿足條件，如果滿足條件，則級數(shù)收斂，否則，需要判斷絕對收斂性，即轉(zhuǎn)化為正項級數(shù)討論。如果級數(shù)既不是正項級數(shù)也不是交錯級數(shù)，則也需要通過絕對收斂性判斷。

下面通過幾個例子說明如何根據(jù)上圖中的流程來判別級數(shù)的斂散性。

分析：該級數(shù)中含有參數(shù)，且一般項中含有，所以需要對參數(shù)范圍進行分類討論：

由以上幾個例子可以看出，對于某一無窮級數(shù)斂散性的討論，可能需要用到多種判別方法，這就需要我們能夠靈活地掌握判別方法以及基本流程。但是無論如何，題目都是“萬變不離其宗”，復(fù)雜的題目可以讓我們在解題過程中多一份感受，也更深刻地認識它的本質(zhì)。