正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別的一種新方法

吳國(guó)磊

(如皋高等師范學(xué)校 數(shù)理與信息技術(shù)系，江蘇 如皋 226500)

0 引言

眾所周知，級(jí)數(shù)是微積分學(xué)中的重要的內(nèi)容，對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別，通常我們總是先判定它是否是絕對(duì)收斂，而判定絕對(duì)收斂的本質(zhì)就是判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法，常見(jiàn)的有D＇Alembert判別法、Cauchy判別法、Raabe對(duì)數(shù)判別法和Gauss判別法等，但都有一定的局限性，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，如文獻(xiàn)［1］—［5］，事實(shí)上，我們可以根據(jù)Raabe判別法，給出了一個(gè)與其類(lèi)似的新判別法.

1 已有相關(guān)研究

1.1 Raabe判別法

該判別法和如下形式是等價(jià)的:

1.2 Gauss判別法

其中λ，μ是常數(shù)，而θn是有界量: θn≤L;那么，

(1)如果λ＞1或λ=1，μ＞1級(jí)數(shù)收斂;(2)如果λ＜1或λ=1，μ＜1級(jí)數(shù)發(fā)散.

1.3 一個(gè)引理

2 Raabe判別法的推廣

2.1 Raabe判別法的第一步改進(jìn)

王暉東、劉笑穎［8］已經(jīng)對(duì)Raabe判別法進(jìn)行過(guò)改進(jìn)，如下:

證明:當(dāng)n→∞ 時(shí)，有

2.2 Raabe判別法的兩步改進(jìn)

進(jìn)一步的改進(jìn)，可得兩步改進(jìn)方法:

王暉東、劉笑穎對(duì)Raabe判別法進(jìn)行改進(jìn)僅限于此，若將上述兩個(gè)定理進(jìn)行再次推廣，可以得到如下的新方法.

2.3 Raabe判別法的多步改進(jìn)

證明:當(dāng)n→∞ 時(shí)，有

再使用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)m=1時(shí)，

則當(dāng)m=k+1時(shí)，有

2.4 Raabe判別法的多步改進(jìn)的實(shí)效舉例

此時(shí)，為了方便描述，令

現(xiàn)在將式子如下展開(kāi)

此時(shí)，如果取r＞1，則g(n)＞0;如果取r＜1，則g(n)＜0，此時(shí)該判別法失效.我們用更進(jìn)一步的改進(jìn)定理來(lái)判斷其收斂性.這時(shí)有

此時(shí)，如果取0＜r＜1，則g(n)≥0，則該級(jí)數(shù)發(fā)散.

［1］楊鐘玄.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)新判別法［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，28(6):667－670.

［2］洪勇.一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別定理及應(yīng)用［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，27(3):245－247.

［3］高原，劉大彬.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判定的一種方法［J］.齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，27(4):86－88.

［4］張永明.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一種新的判別法［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004，34(1):173－176.

［5］王炳安，李淑敏.關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一組收斂性判別法［J］.大連大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，25(4):1－5.

［6］陳紀(jì)修，於崇華，金路.《數(shù)學(xué)分析》第二版［M］.高等教育出版社，2004.22－23.

［7］童小龍.Gauss判別法的改進(jìn)［J］.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)(博士專(zhuān)家論壇)，2008:352－353.

［8］王暉東，劉笑穎.拉貝判別法的推廣［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(4):165 －170.

［責(zé)任編輯:閆 昕］