泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用技巧

莫慶美

(賀州學(xué)院理學(xué)院，廣西賀州 542899)

泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用技巧

莫慶美

(賀州學(xué)院理學(xué)院，廣西賀州 542899)

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)這門課程中的一個重要公式，它是微分學(xué)的基本理論。本文通過泰勒公式在求極限、微分方程求解、廣義積分和級數(shù)斂散性的判別、高階導(dǎo)數(shù)的計算等方面的應(yīng)用，拓寬了泰勒公式的應(yīng)用范圍，展現(xiàn)了泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的重要地位，拓廣了高等數(shù)學(xué)問題的解題方法及技巧。

泰勒公式；極限；微分方程；斂散性；高階導(dǎo)數(shù)

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個重要公式,也是求解高等數(shù)學(xué)問題的一個重要工具。然而，在高等數(shù)學(xué)教材中，一般只講泰勒公式和幾個常用函數(shù)的麥克勞林公式，對其在解題中的應(yīng)用很少介紹。對某些未定式的極限來說，運(yùn)用泰勒公式比使用洛比達(dá)法則更方便。泰勒公式對某些微分方程求解、廣義積分和級數(shù)斂散性的判別、高階導(dǎo)數(shù)的計算等方面也都有很大的作用。本文通過典型例題，討論泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用技巧。

1 求函數(shù)的極限

在求某些分式或者復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的極限時，利用泰勒公式的帶皮亞諾型余項把其中的某些項展開，可以較為容易解決。

從例1可以看出，利用泰勒展開式代替某些函數(shù)時，要考慮分子分母無窮小的階數(shù)，并配合等價無窮小的性質(zhì)來求極限。

2 求微分方程的解

例2解微分方程xy″-（x+m）y′+my=0(m為自然數(shù))

即原方程的通解為

3 判斷級數(shù)的斂散性

有些復(fù)雜的級數(shù)用常規(guī)的方法很難判別其斂散性，我們可以考慮將其展開成泰勒級數(shù)，再進(jìn)行判定，往往會把問題變得簡單。

分析直接通過通項去判斷級數(shù)是正項級數(shù)還是非正項級數(shù)比較困難。因而不能直接給出判斷級數(shù)斂散性的方法。但是我們注意到所給級數(shù)通項中的lnn+1=ln（1+1

4 判斷廣義積分的斂散性

5 求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值

例設(shè)f（x）=x10arctanx，求f（0）（0）

由此可得f（x）的泰勒展開式

又f（x）在x=0處的麥克勞林展開式為

比較（1）和（2）式中的系數(shù)得：

6 結(jié)束語

通過上面的幾個例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函數(shù)的極限、求解微分方程、廣義積分和級數(shù)斂散性的判別、高階導(dǎo)數(shù)的計算具有簡潔、方便的作用，從而準(zhǔn)確、高效地解決一些數(shù)學(xué)問題。泰勒公式在五個方面的應(yīng)用，為解決高等數(shù)學(xué)問題拓展了思路，從中可以看出泰勒公式在解題中的妙用，對學(xué)習(xí)和教學(xué)都大有脾益。

[1]蔡燧林．常微分方程[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2002．

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（3版）[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[4]陳麗．泰勒公式的應(yīng)用[J]．廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)）版，2009，9(2)：20―23．

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1003-5168(2014)04-0198-02

莫慶美（1963—）,女，漢族，專業(yè)副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)理論。