原式
- 構(gòu)造對(duì)偶式解題研究
問(wèn)題,其核心是將原式中的數(shù)進(jìn)行奇偶轉(zhuǎn)換,從而構(gòu)造出原式的對(duì)偶式,并借助于原式及其對(duì)偶式的關(guān)系解決問(wèn)題.評(píng)析本題利用奇偶策略, 通過(guò)構(gòu)造M的對(duì)偶式, 并利用M,N之間的關(guān)系使原不等式得證,運(yùn)算量更小,解題過(guò)程更簡(jiǎn).1.2 互余策略互余策略用于解決由三角函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問(wèn)題,其核心是將原式中的角或函數(shù)換為其余角或余函數(shù),從而構(gòu)造出原式的對(duì)偶式,并借助于原式及其對(duì)偶式的關(guān)系解決問(wèn)題.例2求值: cos280?+cos250?+cos 80?cos 40?.解令M=
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2023年23期2024-01-26
- 源于教材 發(fā)展于課堂
——核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的落實(shí)
推廣.①下面對(duì)其原式“加減乘除”并進(jìn)行推廣:如果把原式x替換成x+a,則原式變成ex+a≥x+a+1,切點(diǎn)x=-a.如果把原式x替換成x+lnx,則原式變成xex≥x+lnx+1(x>0),切點(diǎn)x+lnx=0?x0≈0.568.如果把原式x替換成x-1,則原式變成ex-1≥x,又可表示為ex≥ex,切點(diǎn)x=1;②下面對(duì)其原式“丟1換x”并進(jìn)行推廣.如果把原式1丟掉,則變成:(2)對(duì)數(shù)lnx≤x-1(x>0)切線的放縮推廣.下面對(duì)其原式“加減乘除”并進(jìn)行推廣
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2023年4期2023-08-14
- 錯(cuò)在哪里
00÷8=50（原式變成除數(shù)是一位數(shù)的除法）學(xué)會(huì)了以上的簡(jiǎn)便計(jì)算方法，我們?cè)倏聪旅娴念}目。計(jì)算840÷50 時(shí)，根據(jù)商不變的性質(zhì)得到840÷50=84÷5=16……4。上面的計(jì)算到底對(duì)不對(duì)呢？不對(duì)。錯(cuò)在哪里？余數(shù)不對(duì)！余數(shù)4 在十位上，表示4 個(gè)十，即余數(shù)應(yīng)該是40。我們利用“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”的方法進(jìn)行驗(yàn)證——假如余數(shù)是4：50×16+4=804假如余數(shù)是40：50×16+40=840可見(jiàn)，40是正確的余數(shù)。所以840÷50=84÷5=16……40
- 二次根式化簡(jiǎn)中的方程思想
a=2013，則原式=（a+3）（a+2）（a+1）a（a-2）+1+1+1+1=（a+3）（a+2）（a+1）（a-1）+1+1+1=（a+3）（a+2）a+1+1=（a+3）（a+1）+1=a2+4a+4=a+2，即原式=2015.例5 化簡(jiǎn)：263+2-5.分析 我們可以用a，b，c表示3，2，5，這樣就將二次根式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為分式化簡(jiǎn).解 令3=a，2=b，5=c，則a2+b2-c2=0，26=2ab，故 263+2-5=2aba+b-c=2ab（a+
數(shù)理天地(初中版) 2022年5期2022-07-24
- 例談待定系數(shù)法在解題中的妙用
先要按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，然后根據(jù)因式連乘積的展開(kāi)式與原式的系數(shù)相等，建立有關(guān)待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.評(píng)注：在分解復(fù)雜多項(xiàng)式時(shí)，可將原式設(shè)為若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積，然后展開(kāi)比較其與原式的系數(shù)關(guān)系，利用兩個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的系數(shù)一定相等這個(gè)結(jié)論，將因式分解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組的問(wèn)題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解的目的.二、待定系數(shù)法在求解分式方程中的應(yīng)用對(duì)于解分式方程除了用常規(guī)方法外，還可
語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)·初中版 2021年11期2021-09-17
- 因式分解有妙方 化繁為簡(jiǎn)“換元法”
中令u=xy，變原式為a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更為明朗。這種方法我們稱(chēng)之為“換元法”。要注意的是，最終的結(jié)果不能寫(xiě)成u·（a+b）（a-b），要將換掉的“元”重新?lián)Q回去，將結(jié)果書(shū)寫(xiě)為（x-y）（a+b）（a-b）的形式。例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。【分析】題目中出現(xiàn)了相同因式（x+y），我們用整體代換，將x+y看作整體，令u=x+y。解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。例3
初中生世界 2020年13期2020-12-17
- 查找錯(cuò)因 紓解“因式分解”之惑
，有學(xué)生這樣做：原式=。很顯然，從概念來(lái)看，最終化解的式子并非“積”的形式，而是“減”式。之所以出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，與學(xué)生對(duì)“積”的形式理解不到位有關(guān)。觀察該多項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)后半部分符合，因此，可以將后半部分進(jìn)行組合，將原式化成。所以說(shuō)，概念混淆，導(dǎo)致最終因式分解未能轉(zhuǎn)換成“積”的形式。不過(guò)，還有學(xué)生雖然認(rèn)識(shí)到“積”的形式，但卻忽視“整式”的積的形式。如在某題中：，對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行分解時(shí)，有學(xué)生這樣做，原式=?？此剖恰胺e”的形式，但對(duì)于因式部分卻不是整式，正確的解法
廣告大觀 2020年3期2020-10-20
- 隱藏于三角函數(shù)中的“向量思想”
題意可知x∈R，原式可化為y(3cosx-4)=2sinx-3，即3ycosx-2sinx=4y-3.解析:由題意易知y>0，原式可化簡(jiǎn)為ysinx=2-cosx，即ysinx+cosx=2.例3 (教材改編)若關(guān)于x的方程(2k+3)sinx+kcosx=k+3有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.從上面的3個(gè)例題中我們不難發(fā)現(xiàn)，如將三角問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)處理，使原式轉(zhuǎn)化成形如asinθ±bcosθ的形式，使用向量思想也將可以完美解決函數(shù)最值或取值范圍相關(guān)問(wèn)題，并
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2020年9期2020-09-23
- 因式分解方法拓展
（1）經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)原式是關(guān)于x3，y3的完全平方式，則原式 = [（x3+y3）2] [=[（x+y）（x2-xy+y2）]2] [=（x+y）2（x2-xy+y2）2].（2）將x2 + x看作整體，令A(yù) = x2 + x，則原式 = （A + 1）（A + 2） - 12 = A2 + 3A - 10 = （A - 2）（A + 5） = （x2 + x-2）（x2 + x + 5） [=] （[x-1]）（[x+2]）（[x2+x+5]）.[作
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年11期2020-09-10
- 巧用三角公式求數(shù)列通項(xiàng)
究來(lái)解答.探究把原式中分式部分上下同除以可得類(lèi)比兩角和的正切公式tan(α+β)=設(shè)an-1=tanα,則原式可以變形為an=又因?yàn)閍0=所以總結(jié)通過(guò)上面的解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)常見(jiàn)的周期性數(shù)列問(wèn)題,其實(shí)是三角公式與數(shù)列的結(jié)合,通過(guò)對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)還有很多類(lèi)似的題目,可以通過(guò)三角的公式與數(shù)列結(jié)合分析.例2已知正數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an之間滿(mǎn)足:則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析由Sn· an=作差變形可得2n-1an-1=類(lèi)比正切的二倍角公式tan
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2020年15期2020-09-09
- 恒等式lg2+lg5=1在解題中的作用
)2=1.方法二原式=(lg5)2+lg(52×2)lg2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.(2)方法一(從左到右變形用“分”的技巧求解)方法二(從右到左變形用“合”的技巧求解)小結(jié)對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)與指數(shù)互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)的運(yùn)算可根據(jù)對(duì)數(shù)的定義、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)恒等式進(jìn)行．在解決對(duì)數(shù)的運(yùn)算和與對(duì)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意化簡(jiǎn)過(guò)程中的等價(jià)性和對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．=3lg5lg2+3lg5+3lg22+0-lg6+lg6-
數(shù)理化解題研究 2020年19期2020-07-22
- 對(duì)第一類(lèi)換元積分法的研究與改進(jìn)
量作變量替換，使原式結(jié)構(gòu)變得更加簡(jiǎn)單，從而解決較為復(fù)雜的不定積分問(wèn)題。常規(guī)的換元方法存在選取合適的中間變量難、湊微分時(shí)容易配錯(cuò)常數(shù)等問(wèn)題，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、微分公式運(yùn)用不夠靈活的學(xué)生，在做題過(guò)程中特別容易出錯(cuò)，從而產(chǎn)生畏難情緒。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文提出了一種更為簡(jiǎn)單且不容易出錯(cuò)的換元方法，避開(kāi)了湊微分時(shí)配常數(shù)的計(jì)算，降低了換元難度。2 第一類(lèi)換元積分的常規(guī)解法第一類(lèi)換元積分法是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的逆推。若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)：其中被積函數(shù)是以f
科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新 2020年10期2020-05-12
- 根據(jù)具體情況 選用不同算法
4有倍數(shù)關(guān)系，把原式轉(zhuǎn)化成5.36×（8÷4）=5.36×2，就要容易一些。再看③20÷0.3×1.5，更有多種解答方法。先算20×1.5，再算30÷0.3=100;或先把原式轉(zhuǎn)化成20×1.5÷0.3，再把它轉(zhuǎn)化成20×（1.5÷0.3）=20×5=100。接著，王老師說(shuō)，在數(shù)學(xué)王國(guó)中，沒(méi)有一成不變的東西，只要我們勤學(xué)習(xí)，善思考，學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，作具體分析，靈活地選用不同的解題方法，才能到數(shù)學(xué)王國(guó)中自由自在地去遨游。（本文作者陶愛(ài)珍為中國(guó)教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)
科普童話·學(xué)霸日記 2020年2期2020-05-08
- 因式分解有妙方 化繁為簡(jiǎn)“換元法”
令u=x-y，變原式為a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更為明朗。這種方法我們稱(chēng)之為“換元法”。要注意的是，最終的結(jié)果不能寫(xiě)成u·（a+b）（a-b），要將換掉的“元”重新?lián)Q回去，將結(jié)果書(shū)寫(xiě)為（x-y）（a+b）（a-b）的形式。例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。【分析】題目中出現(xiàn)了相同因式（x+y），我們用整體代換，將x+y看作整體，令u=x+y。解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。例3
初中生世界·七年級(jí) 2020年4期2020-04-30
- 一類(lèi)不等式(等式)證明問(wèn)題的降格處理
題)證明：簡(jiǎn)析記原式左右兩邊分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng) 和An,Bn，則bn=Bn -2)，并且也適合上式，則bn=(為節(jié)省篇幅，以下各例將略去這一步).于是有an=bn(n ∈??，從而可得An=Bn，即原式成立.例2(ⅠMO-8試題)對(duì)于一切正整數(shù)n及每個(gè)實(shí)數(shù)(k= 0,1,··· ,n,m是任意整數(shù))，求證：簡(jiǎn)析記原式左右兩邊分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和An,Bn，則且b1=B1= cotx-cot 2x=也適合上式.則有an=b
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2020年1期2020-02-20
- 例說(shuō)乘法公式的“活學(xué)”與“巧用”
2n+1）分析：原式中各因式雖有一定的規(guī)律，但又沒(méi)有現(xiàn)成的公式可用?？紤]到平方差公式，只需給原式“乘以一”，即（2-1），雖然不改變原式的大小，但與原式中的首項(xiàng)構(gòu)成平方差公式，然后，自左向右滾動(dòng)相乘，便可水到渠成，好戲連臺(tái)。于是有如下的解法：解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）=（22n-1）（22n+1）=（24n-1）例2.化簡(jiǎn)：二、在二次方程及函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用例3
課程教育研究 2019年48期2019-12-25
- 待定系數(shù)法及其應(yīng)用拓展
x+2)，則可設(shè)原式=(x+my+1)(x+ny+2)，即原式=x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2。所以當(dāng)k=-3 時(shí)，原多項(xiàng)式能因式分解，其分解式為x2-2xy-3y2+3x-5y+2=(x-3y+1)(x+y+2)。通分后可得x2+x-3=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)。例4 將5x3-6x2+3 按(x-1)的方冪展開(kāi)。解：設(shè) 原式=5(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+c，即原式
數(shù)學(xué)大世界 2019年30期2019-12-20
- 淺談?wù)嘞叶ɡ碓诮馊切螁?wèn)題中的應(yīng)用
角。由已知，先將原式利用正弦定理a=2RsinA變?yōu)?RsinC=2RsinB，因?yàn)榈仁角昂缶?R，所以可將2R約分，等式變?yōu)閟inAcosC+再由三角形內(nèi)角和公式與誘導(dǎo)公式可知sinB=sin(A+C)，所以由sin(A+C)我們可以聯(lián)想到三角恒等變換，即sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC。所以原式變?yōu)閏osAsinC。因?yàn)榈仁絻蛇吘衧inAcosC，所以將其消去得因?yàn)槿切沃腥魏谓堑恼抑稻粸?，所以sinC≠0，再將sinC約
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考理化) 2019年11期2019-11-27
- 一道簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用
——兼答有獎(jiǎng)解題擂臺(tái)(122)和一道奧賽題
4時(shí)取等號(hào).即得原式，易知當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2或x3=x4時(shí),取等號(hào).下面舉一些例子，說(shuō)明定理中的不等式的應(yīng)用.在定理中不等式的右邊應(yīng)用均值不等式，便得到例1 (自創(chuàng)題，2017.08.17)設(shè)x1、x2、x3、x4∈R，則當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=x4時(shí)取等號(hào).作為定理中的不等式的特例，有例2 設(shè)x、y∈R，則8xy(x2+y2)≤(x+y)4.利用例2中的結(jié)論，可得到以下例3 設(shè)xi≥0，i=1,2,…,2n，則(x1+x2)(x3+x4)…(x2n-1
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2019年5期2019-10-28
- 分解因式，尋根溯源
b來(lái)替換，便有：原式=（2-b）2-b2+4b=4-4b+b2-b2+4b=4。解法2：同解法1.我們也可以用a來(lái)替換b，即b=2-a，同樣可得結(jié)果.解法3：我們不僅可以在a，b間互相切換。也可以將2用a+b來(lái)替換，則：原式=a2-b2+2（a+b）b=a2+b2+2ab=（a+b）2=4。解法4：原式中的a2-b2非?！帮@眼”，所以分解因式后有a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=4。題目解到這里。呈現(xiàn)了多種方法，
- 例說(shuō)待定系數(shù)法的應(yīng)用
難度.我們可以對(duì)原式進(jìn)行分組，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解.解：按二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)對(duì)原式進(jìn)行分組，得原式=（3x2+5xy-2y2）+（-5x+11y）-12.3x2+5xy-2y2=（3x-y）（x+2y）.設(shè)原式=（3x-y+m）（x+2y+n），展開(kāi)整理，得3x2+5xy-2y2+（m+3n）x+（2m-n）y+mn.利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得m+3n=-5 ①，2m-n=11 ②，mn=-12 ③.則原式=（3x-y+4）（x+2y-3）.說(shuō)明：上述解法
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年10期2019-06-25
- 因式分解常見(jiàn)錯(cuò)誤分析
b分解因式.錯(cuò)解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab.錯(cuò)解分析結(jié)果不是幾個(gè)整式積的形式，而是一個(gè)多項(xiàng)式，沒(méi)有達(dá)到分解因式的目的.正解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab=(2a+b)2.二、提公因式后漏項(xiàng)出錯(cuò)例2 把4x3y2-6x2y+2xy分解因式.錯(cuò)解原式=2xy(2x2y-3x).錯(cuò)解分析1作為系數(shù)可以省略，但如果它作為因式分解后單獨(dú)的一項(xiàng)，則不能漏掉.正解原式=2xy(2x2y-3x+1).三、分解因式的結(jié)
數(shù)理化解題研究 2019年2期2019-02-20
- 一道考研數(shù)學(xué)試題的多種解法
換元積分法），將原式變?yōu)?，然后考慮用分部積分。用觀察法可得，從而將裂項(xiàng)，變?yōu)槭强疾榭忌囊粋€(gè)分水嶺，此處看似簡(jiǎn)單，對(duì)學(xué)生的思維要求極高。方法2方法3令t=ex-1，則x=ln(t+1)，所以所以原式由t=ex-1，則上式方法4方法5方法6將t=ex代入此式，評(píng)析：相比方法1和方法2，方法3至方法6均用換元法，把原式變?yōu)槭煜さ男问剑瑢?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。以上解法表明：湊微分法是求不定積分最簡(jiǎn)單的方法之一[2]。在解積分題目時(shí)，應(yīng)注意一題多解，用多種方法解同
- 一類(lèi)無(wú)理函數(shù)值域的求解策略
，當(dāng)ac<0時(shí)，原式可化為y=ax-b+cd-x（a>0，c>0，b一、導(dǎo)數(shù)法易求函數(shù)的定義域?yàn)閇3，6]，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，是高中階段求函數(shù)值域最有效的方法之一，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的一種有效工具，正確利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)法的關(guān)鍵.函數(shù)y=f（x）=2x-3+12-2x的定義域?yàn)閇3，6]，求導(dǎo)得y′=1x-3-112-2x，由y′≥0得，1x-3≥112-2x，解得x≤5；由y′≤0得，1x-3≤112-2x，解得x≥5；結(jié)合定義域
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年11期2018-09-25
- 多少金幣？
出了其中的秘密，原式應(yīng)是25+14=39。第二次他寫(xiě)到：“這次我絕無(wú)謊言，我口袋里有51+55=97個(gè)金幣?！彼呐笥迅鶕?jù)密碼編排方法很快破譯了密碼。你知道他有多少金幣嗎？A.66 B.77 C.88 D.99答案解析：選C。根據(jù)已知條件出發(fā)，由34+23=48推算出25+14=39，也就是35與25、23與14、49與39都相差了9，所以51+55=97，按此方法推算為（51-9）+（55-9）=（97-9），即為42+46=88
新青年 2018年8期2018-08-18
- 有效變形 巧妙求值
017+1，所以原式可變形為（-0.125）1×（-0.125）2017×82017，然后逆用積的乘方的性質(zhì)求解.解：原式=（-0.125×8）2017×（-0.125）=0.125.三、變不同形式的冪為相同形式的冪例3 已知x=2m+1，y=3+4m，則用含x的代數(shù)式表示y，則y= .【變形的念頭】仔細(xì)審題，可知兩個(gè)式子中，只有4m與2m有聯(lián)系，因此我們可以將兩式子變形，化成含有同底數(shù)冪的形式.解：因?yàn)?m=x-1，4m=y-3，又因?yàn)?m=（22）m=
初中生世界·七年級(jí) 2018年3期2018-04-28
- 數(shù)列經(jīng)典題型突破
此類(lèi)型的方法是將原式化為an+1+m=p(an+m),利用兩式的等價(jià)性求出m=。例1 已知a1=1,an+1=2an+1,求an的通項(xiàng)公式。解析：an+1+1=2(an+1),令bn=an+1,則bn為等比數(shù)列,可求其通項(xiàng)公式bn=b1=2,bn=b1×2n-1=2n,所以an=2n-1。2.an+1=pan+qn類(lèi)型,此類(lèi)型的方法是將原式化利用累加法可求。例2 已知a1=1,an+1=2an+3n+1,求an的通項(xiàng)公式。題型二：數(shù)列最值問(wèn)題解決這一類(lèi)型問(wèn)
- 有關(guān)復(fù)數(shù)模的一道不等式另證及對(duì)猜想的否定
+a|)=0,故原式成立.同時(shí)，筆者在文末曾提出了如下猜想設(shè)zi∈C,i=1,2,…,n,求證:事實(shí)上，上述猜想不成立.反例如下：取n=4,z1=z2=z3=1 ，z4=-2,這時(shí)，有|z1|+|z2|+|z3|+|z4|=5, |z1+z2|+|z1+z3|+|z1+z4|+|z2+z3|+|z2+z4|+|z3+z4|=9,|z2+z3+z4|+|z1+z3+z4|+|z1+z2+z4|+|z1+z2+z3|=3,|z1+z2+z3+z4|=1,于是，
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2018年5期2018-02-09
- 與“3.14”有關(guān)的乘除法
用乘法結(jié)合律，把原式改為：3.14×（34×45）+3.14×289。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用乘法分配律，原式可改寫(xiě)成3.14×（34×45+289）＝3.14×1819＝3.14×9+3.14×10+3.14×800+3.14×1000。再比如：一個(gè)近似于圓錐形的沙堆，測(cè)得底面直徑為4米，高1.5米，每立方米的沙約重1.7噸，這堆沙大約多少?lài)?？又如：一個(gè)圓柱的高增加4厘米，表面積增加了50.24平方厘米，求圓柱的底面積。本題要求底面積，首先得找到底面半徑。有的
小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版) 2018年5期2018-01-24
- 參考答案與解析
017 48. 原式[=3-1-33] +[23]+1+1=1.49. 原式=1+[2][×22-3+2=1].50.a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2.將a+b=3，ab=2代入，得ab（a+b）2=2×32=18.故代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值是18.51.原式=x2-2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2.解方程組[x-5y=-2，2x+5y=-1，]得[x=-1，y=15.]∴原式=-2×（-1）
試題與研究·中考數(shù)學(xué) 2017年1期2017-06-23
- 分析考點(diǎn)，玩轉(zhuǎn)“整式乘法與因式分解”
法.【解答】A.原式=x3y3，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.原式=1，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.原式=15x5，該選項(xiàng)正確；D.原式=7x2y3，該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、合并同類(lèi)項(xiàng)、冪的乘方與積的乘方，以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.例2 （2016·江西）下列運(yùn)算正確是（ ）.A.a2+a2=a4B.（-b2）3=-b6C.2x·2x2=2x3D.（m-n）2=m2-n2【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，完全平
初中生世界·七年級(jí) 2017年5期2017-06-10
- 2015年高考福建理科卷壓軸試題解法探究
——洛必達(dá)法則在壓軸題中的解題應(yīng)用
n2(α+β),原式得證.例6 在三角形ABC中，求證：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1.證明 設(shè)M=cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC,構(gòu)造對(duì)偶式N=sin2A+sin2B+sin2C+2sinAsinBcosC則M+N=3+2cosC(sinAsinB+cosAcosB)=3+2cosCcos(A-B)M-N=cos2A+cos2B+cos2C+2cosCcos(A+B)=cos2A+cos
數(shù)理化解題研究 2017年10期2017-05-17
- 分析考點(diǎn)，玩轉(zhuǎn)“整式乘法與因式分解”
法.【解答】A.原式=x3y3，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.原式=1，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.原式=15x5，該選項(xiàng)正確；D.原式=7x2y3，該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、合并同類(lèi)項(xiàng)、冪的乘方與積的乘方，以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵.例2（2016·江西）下列運(yùn)算正確是（）.A.a2+a2=a4B.（-b2）3=-b6C.2x·2x2=2x3D.（m-n）2=m2-n2【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，完全平方公
初中生世界 2017年17期2017-02-26
- 靈活應(yīng)用不等式的性質(zhì)解題
__.分析：要將原式化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于確定x-3和x-7的取值，看它們是大于零還是小于零.解：由3＜x＜7，得x-3＞0，x-7＜0.故原式=（x-3）+（7-x）=4.二、求值問(wèn)題例2設(shè)a、b都是正整數(shù)，且71a+600b=2013，則a+b的值為.分析：用b的代數(shù)式表示a，然后根據(jù)a、b都是正整數(shù)，先確定b的值，再求滿(mǎn)足條件的a的值.三、比較大小問(wèn)題分析：比較兩個(gè)整式大小常用的方法是求這兩個(gè)整式的差值，再結(jié)合已知條件確定這個(gè)差值是否大于零.解：先分別比較M
初中生天地 2016年13期2016-07-05
- “無(wú)關(guān)”與“不含”型問(wèn)題例析
.參考答案：1.原式＝3x2－2x＋1－2x2＋2x－x2＝1.故無(wú)論x為何值，原式的值恒等于1，所以小明把“x＝－2”錯(cuò)抄成“x＝2”也不影響計(jì)算的結(jié)果.2.因?yàn)椋?－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）＝8－7x－6x2＋x3＋x3＋5x2＋4x－1＋x2＋3x－2x3＋3＝10.所以無(wú)論x取何值，原式的值都等于10，所以多項(xiàng)式的值與x無(wú)關(guān).
初中生天地 2016年28期2016-03-29
- 分式求值方法多
、巧用整體分析：原式＝要求其值，應(yīng)先找到a＋b與ab之間的數(shù)量關(guān)系.解：由＝1，得a＋b＝ab.二、巧用消元例2如果a分析：第一個(gè)等式說(shuō)明的是a與b的關(guān)系，第二個(gè)等式說(shuō)明的是b與c的關(guān)系，a和c都可用b的分式表示.解：由原式＝三、巧用倒數(shù)例3已知的值.解：顯見(jiàn)，四、巧用化積例4若abc≠0，a＋b＋c＝0，則（）.A.0 B.1 C.－1 D.2分析：直接通分計(jì)算非常麻煩，應(yīng)考慮將求式的三個(gè)分母分別化為積的形式.解：由a＋b＋c＝0，得a＝－（b＋c）.所
初中生天地 2015年35期2015-12-22
- 一個(gè)代數(shù)不等式及其應(yīng)用
0，∑1≤i0，原式等價(jià)于∑ni=1xi（y-yi）=∑ni=1yi（x-xi）≥2∑1≤i下面我們來(lái)證明∑ni=1xi（y-yi）≥2∑1≤i由于∑ni=1xi（y-yi）=∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi≥∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi，因此要證式①成立，只要證明∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi≥2∑1≤i∑1≤i即∑ni=1xi·∑ni=1yi≥∑ni=1xiyi+2∑1≤i∑1≤i式②易證成立
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中版) 2015年6期2015-12-02
- 模擬試題、大預(yù)測(cè)試題參考答案
4.2三、16.原式=x-l，x不能取±1，答案不唯一.x分別取-2，O，2時(shí)代數(shù)式值分別為-3，-1，1.17.（1）560（2）講解題目的為84人，圖略. （3）4.8萬(wàn)人.18.（l）證明略. 19.約為16.5米.20.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8）。點(diǎn)E的坐標(biāo)為 .21.（1）一臺(tái)進(jìn)口設(shè)備的價(jià)格為12萬(wàn)元，一臺(tái)國(guó)產(chǎn)設(shè)備的價(jià)格是9萬(wàn)元.（2）方案一：進(jìn)口l臺(tái)，國(guó)產(chǎn)7臺(tái)；方案二：進(jìn)口2臺(tái)，國(guó)產(chǎn)6臺(tái)；方案三：進(jìn)口3臺(tái)，國(guó)產(chǎn)5臺(tái)；方案四：進(jìn)口4臺(tái)，國(guó)產(chǎn)4臺(tái). （
中學(xué)生數(shù)理化·中考版 2015年6期2015-09-10
- 高考遞推數(shù)列“總攻略”
（p-1）λ，與原式比較，得（p-1）·λ=q，即λ=，從而得數(shù)列an+是公比為p的等比數(shù)列.相減法：由a=pan+q，得an=pa+q，兩式相減，得a-a=p（a-a）. 故數(shù)列a-a是首項(xiàng)為a-a，公比為p的等比數(shù)列，即a-a=（a-a）pn-1，再將其轉(zhuǎn)化為類(lèi)型一，即可得an .設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a=a，a=ca+1-c，n∈N？鄢，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析？搖令an+1+λ=p（an+λ），與原式比較，得an+1-
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年11期2014-12-13
- 二次根式的求值技巧
解得x=-1。則原式=（-1）2013-12013=-2。點(diǎn)評(píng) 若■有意義，則■中隱含著兩個(gè)非負(fù)數(shù)：一個(gè)是被開(kāi)方數(shù)a≥0，另一個(gè)是■≥0。二、利用倒數(shù)關(guān)系例2 已知a=2+■，b=2-■，試求■-■的值。分析 由ab=1，得a和b互為倒數(shù)，那么■=a，■=b。解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。則原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。點(diǎn)評(píng) 如果ab=1，那么a和b互為倒數(shù)，即有■=a，■=b。解題時(shí)我
初中生之友·中旬刊 2014年3期2014-04-02
- 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽客觀題中的全對(duì)稱(chēng)與輪換對(duì)稱(chēng)
法2中巧妙地利用原式取得最大值時(shí)a,b2,c3三者相等.解法1解法2由題意可知，a,b,c是全對(duì)稱(chēng)，可知最小值只會(huì)在三者相等時(shí)取到，即a=b=c，而abc=1，因此a=b=c=1.此時(shí)原式的最小值為點(diǎn)評(píng)解法1中2次利用基本不等式求出其最小值，解法2中巧妙地利用原式取得最大值時(shí)a,b,c三者相等.例3設(shè)n為自然數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z恒有(x2+y2+z2)2≤n(x4+y4+z4)成立，則n的最小值為_(kāi)_____.解法1令a=x2,b=y2,c=z2，則
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2013年3期2013-10-27
- 一道競(jìng)賽題的多角度思考
余弦定理.解法1原式可化為圖1∠BCD=90°-x．如圖1，得|AE|+|BE|=4≥|AB|.即1=sin(x+30°),解得x=60°.思路2轉(zhuǎn)化思想——聯(lián)系柯西不等式.解法2由題意可得16,評(píng)注柯西不等式在不等式中的運(yùn)用非常廣泛，應(yīng)用它往往可以簡(jiǎn)化運(yùn)算量．思路3方程思想——構(gòu)造方程.解法3可以利用條件進(jìn)行分子有理化，建立另一方程的形式，通過(guò)方程組消元求解．因此從而于是解得x=60°.評(píng)注該解法由學(xué)生熟悉的分子有理化入手，再過(guò)渡到方程思想，思路如行云流
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年12期2010-11-25
- 整體代入 靈活求值
= -3代入,得原式 = 2 × 2 - 3 = 1.例2 若代數(shù)式2y2 + 3y + 7的值為18,則代數(shù)式4y2 + 6y - 9的值為. 先將“2y2 + 3y”看成一個(gè)整體,求出它的值,再將4y2 + 6y - 9變?yōu)榈摹?y2 + 3y”形式即可. 解:∵2y2 + 3y + 7 = 18,∴2y2 + 3y = 11.又 4y2 + 6y - 9 = 2(2y2 + 3y) - 9.把2y2 + 3y = 11代入,得原式 = 2 × 11
- “有理數(shù)的乘除法”檢測(cè)題
÷-+．解法1：原式=50÷-50÷+50÷ =50×3-50×4+50×12 =550．解法2：原式=50÷-+ =50÷ =50×6 =300．解法3：原式的倒數(shù)為-+÷50. -+÷50=-+×=×- ×+×=．故原式=300．（1）上述解法得出的結(jié)果不同，肯定有錯(cuò)誤的解法，你認(rèn)為哪種解法是錯(cuò)誤的？（2）請(qǐng)選用一種正確的方法計(jì)算：-÷-+-．（答案在本期找）注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文
- 感悟絕對(duì)值題的運(yùn)算
|. 答案:1.原式=5+3=8; 2.原式=5-3=2; 3.原式=-5-3=-8. 外面的世界很精彩,外面的世界也很無(wú)奈,像剛才第3小題的-|-5|,魔術(shù)箱子外面的“-”號(hào)是我們沒(méi)辦法改變的,咱們只能把|-5|脫去絕對(duì)值符號(hào)后變成+5. 好了,咱們來(lái)點(diǎn)高難度的動(dòng)作如何? 練一練2計(jì)算:1.2×(-6)-|8|×(-3); 2.||-3|-2|×-÷-5; 3.2×(1-|-7|)×8÷4-3. 答案:1.原式=×(-6)-8×(-3)=|-14|+24
- 檢測(cè)題、綜合測(cè)試題參考答案
x-3.12． 原式=5x2-3x+4x-6+4x2 =9x2+x-6.把x=-代入，原式=9x2+x-6=9 × -2+--6=-.13． （1）S空地=ab-πr2；（2）S空地=500 × 200-π × 202 =100 000-400π. 14． 由題意，得x=1 000a+b，y=100b+a . x-y=（1 000a+b）-（100b+a） =9（111a-11b）.故9能整除x-y.15. （2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y
- 解答二次根式問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)誤分析
計(jì)算： .錯(cuò)解：原式＝ + =1 .評(píng)析： 誤以為存在結(jié)論“ = + （a≥0，b≥0）”，其實(shí)，一般情況下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.正解：原式＝ = =1 .例3 化簡(jiǎn)： .錯(cuò)解：原式＝ =m+n .評(píng)析： 解答有兩個(gè)錯(cuò)誤：一是m＋n是一個(gè)整體，必須加括號(hào)；二是并不知道m(xù)+n是正是負(fù)，因此要加絕對(duì)值.正解：原式＝ =｜m+n｜ .例4 把式子a 中根號(hào)外的因式適當(dāng)改變后移到根號(hào)內(nèi)，并使原式的值不變.錯(cuò)解：原式＝= .評(píng)析： 利用公式a= （a≥0
中學(xué)生數(shù)理化·中考版 2008年7期2008-09-27
- 一道選擇題 學(xué)會(huì)多解法
、③分別代入得：原式＝（－b－c）（＋）＋（－c－a）（＋）＋（－a－b）（＋）＝（－1－－－1）＋（－1－－－1）＋（－1－－－1）＝－6－－－－－－＝－6－（）－（）－（）． ④ 再把①、②、③分別代入④中分式的分母：原式＝－6－（）－（）－（）＝－3．故應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：這種常規(guī)解法計(jì)算量比較大．解法2：換元法．設(shè)＝m，＝n，＝k，則a＝，b＝，c＝．由＋＋＝0，得＝－（＋）．原式＝（n＋k）＋（k＋m）＋（m＋n）＝＋＋＋－（＋）（m＋n）＝＋＋＋－2