構(gòu)造對(duì)偶式解題研究

山東省壽光市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(262700)徐靜

在數(shù)學(xué)解題中有時(shí)候可以根據(jù)題目提供的已知信息中的某個(gè)數(shù)學(xué)式A 的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造與該數(shù)學(xué)式結(jié)構(gòu)相似的式子B(稱B 為A 的對(duì)偶式),通過對(duì)A,B 這一組對(duì)偶式進(jìn)行運(yùn)算,從而消去多余的內(nèi)容,使原問題得到解決,這種解題方法稱為對(duì)偶式解題法.本文對(duì)構(gòu)造對(duì)偶式解題進(jìn)行研究,以期拋磚引玉.

1 構(gòu)造對(duì)偶式策略研究

1.1 奇偶策略

奇偶策略適用于解決由整數(shù)構(gòu)成的不等式證明問題,其核心是將原式中的數(shù)進(jìn)行奇偶轉(zhuǎn)換,從而構(gòu)造出原式的對(duì)偶式,并借助于原式及其對(duì)偶式的關(guān)系解決問題.

評(píng)析本題利用奇偶策略, 通過構(gòu)造M的對(duì)偶式, 并利用M,N之間的關(guān)系使原不等式得證,運(yùn)算量更小,解題過程更簡.

1.2 互余策略

互余策略用于解決由三角函數(shù)構(gòu)成的數(shù)學(xué)問題,其核心是將原式中的角或函數(shù)換為其余角或余函數(shù),從而構(gòu)造出原式的對(duì)偶式,并借助于原式及其對(duì)偶式的關(guān)系解決問題.

例2求值: cos280?+cos250?+cos 80?cos 40?.

解令M= cos280?+cos250?+cos 80?cos 40?,N=sin280?+sin250?+sin 80?sin 40?,所以,M+N=2+cos 40?,所以,,故.

評(píng)析本例利用互余策略,將原式中的三角函數(shù)換為其余函數(shù),從而構(gòu)造了原式的對(duì)偶式,利用兩式的關(guān)系迅速求得原式的值.

1.3 和差策略

和差策略構(gòu)造對(duì)偶式的常見類型為:M+N,M-N;;M2+N2,M2-N2等等.

例3已知a,b,c,d∈R,a2+b2+c2+d2≤1,

證明

證明令

評(píng)析本例利用和差策略,構(gòu)造了原式的對(duì)偶式

利用兩式的關(guān)系迅速證明了原不等式成立.

1.4 輪換策略

輪換策略是指在多項(xiàng)式或者數(shù)學(xué)式中的多項(xiàng)式部分對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的字母進(jìn)行輪換或部分進(jìn)行輪換.

例4已知a,b∈(1,+∞)證明:.

證明令對(duì)其分子進(jìn)行輪換構(gòu)造對(duì)偶式,則

即M≥N.又

所以,M≥8.

評(píng)析輪換策略有時(shí)是整體輪換有時(shí)是部分輪換,本例中只對(duì)分子進(jìn)行輪換構(gòu)造了對(duì)偶式,通過對(duì)互為對(duì)偶式的兩式進(jìn)行研究使原不等式得證.

1.5 定值策略

定值策略是指構(gòu)造對(duì)偶式后,互為對(duì)偶式的兩式之間通過運(yùn)算可以出現(xiàn)定值.

例5已知,求值:

解構(gòu)造f(x) 的對(duì)偶式, 顯然,.所以,

評(píng)析對(duì)偶式的出現(xiàn),使問題的求解過程大大簡化.

1.6 倒序策略

倒序策略適合于數(shù)學(xué)式中存在著結(jié)構(gòu)或者大小方面的”對(duì)稱性”時(shí)構(gòu)造對(duì)偶式所使用的策略.

例6已知n∈N?,證明:.

證明令M=n!=1·2·3···n,N=n·(n-1)·(n-2)···3·2·1,則

評(píng)析本例中的對(duì)偶式即是倒序構(gòu)造,同時(shí)又是一種自對(duì)偶.

2 構(gòu)造對(duì)偶式解題的題型研究

構(gòu)造對(duì)偶式解題可以求解的題型非常廣泛,僅列以下幾種類型.

2.1 證明等式

例7已知,求證:.

分析本例如果使用二項(xiàng)式定理知識(shí)進(jìn)行證明,證明的過程肯定相當(dāng)繁瑣,根據(jù)題目提供的已知信息可以考慮構(gòu)造對(duì)偶式進(jìn)行證明,過程相對(duì)簡捷.

證明, 構(gòu)造其對(duì)偶式, 因?yàn)? 所以.兩式相乘得, 所以.

2.2 證明不等式

例8求證: 2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

分析此三角不等式,運(yùn)用一般方法不容易證明,可以根據(jù)式子的特點(diǎn)構(gòu)造互余的對(duì)偶式輔助解題.

證明令M= 2sin4x+ 3sin2xcos2x+ 5cos4x,N=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x,則

又M-N= 3(cos4x-sin4x) = 3 cos 2x, 以上兩相加得,≤10,所以M≤5.

2.3 求值

例9已知,求x3-4x2+5x-7 的值.

分析原題中,可構(gòu)造其對(duì)偶式,構(gòu)造以x,y為根的二次方程,并用此方程表示所求數(shù)學(xué)式,進(jìn)而求出所求的值.

解構(gòu)造的對(duì)偶式,構(gòu)造以x,y為兩根的二次方程x2-4x+2=0,又x3-4x2+5x-7=x(x2- 4x+ 2) + 3x- 7, 因?yàn)閤2- 4x+ 2 = 0, 所以.

2.4 求函數(shù)值域

例10已知函數(shù)f(x)滿足,求f(x)的值域.

分析根據(jù)題目的特點(diǎn),用代替x得到原式的對(duì)偶式,可聯(lián)立后進(jìn)行解題.

2.5 解方程

例11解方程:.

分析如何通過平方去根號(hào)的思路解方程會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算量相當(dāng)大,如果依據(jù)和差策略從構(gòu)造對(duì)偶式的角度解方程,運(yùn)算量會(huì)明顯減少[2].

解構(gòu)造的對(duì)偶式, 兩式相乘得, 2x- 4 - (x+ 5) =m, 所以,m=x-9,所以,將上式與原方程相加得,,平方并整理得x2-24x+80=0,解得x=20 或x=4(舍去).

2.6 求數(shù)列通項(xiàng)

例12已知數(shù)列{an} 滿足a1= 1,a2= 3,an+2=3an+1-2an,求an.

分析根據(jù)題目提供的信息可以考慮通過構(gòu)造對(duì)偶式進(jìn)行求解.

解根據(jù)an+2= 3an+1- 2an可以構(gòu)造對(duì)偶式an+2-an+1=2(an+1-an),an+2-2an+1=an+1-2an,由an+2-an+1=2(an+1-an)知數(shù)列{an+2-an+1}是公比為2,首項(xiàng)為2 的等比數(shù)列;由an+2-2an+1=an+1-2an知數(shù)列{an+2-2an+1}是常數(shù)列,常數(shù)為1.所以an+1-an=2n,an+1-2an=1,所以an=2n-1.

2.7 求數(shù)列的和

例13已知an-1=nd,n∈N?, 設(shè),求Sn+1.

分析根據(jù)題目提供的信息, 可以使用倒序策略構(gòu)造Sn+1的對(duì)偶式, 結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求得Sn+1.

解,可用倒序策略構(gòu)造其自對(duì)偶的對(duì)偶式,兩式相加得,

通過上述內(nèi)容可以看出, 構(gòu)造對(duì)偶式可以開拓解題思路、提高解題效率、提高運(yùn)算的準(zhǔn)確率,同時(shí),構(gòu)造對(duì)偶式解題可以進(jìn)一步培養(yǎng)思維的發(fā)散性, 發(fā)展和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].