類比出新意
——由倒序相加想到倒序相乘

劉 高

(甘肅省武威第六中學(xué) 733000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn))把培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力作為培養(yǎng)目標(biāo)之一.近幾年全國各省市出現(xiàn)了類比思維的問題，這是一些思路開闊，情景新穎的創(chuàng)新題型，它們往往以問題為中心，不拘泥于具體的知識點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識，方法和原理融為一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維價(jià)值.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過類比推理可尋求解決問題的方法和途徑，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及合情推理的能力.

在數(shù)列一章的學(xué)習(xí)中類比的思想貫穿于其中.例如等差數(shù)列和等比數(shù)列無論是通項(xiàng)公式還是其它性質(zhì)都有許多類似的特點(diǎn).在學(xué)習(xí)的時(shí)候只要我們認(rèn)真研究其特征，靈活應(yīng)用，就一定能推陳出新.如由“倒序相加”聯(lián)想到“倒序相乘”使得問題順利解決就是一種常見的類比方法，現(xiàn)分析如下:

命題1若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n和，則有，

S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n-1)=…=n(an+an+1) ①，

S2n-1=(2n-1)an②.

對于②式有以下兩種推導(dǎo)方法：

證明(法一)S2n-1=a1+a2+a3+…+an+…+a2n-3+a2n-2+a2n-1.

如上所示a1和a2n-1相結(jié)合,a2和a2n-2相結(jié)合等等,這樣共有n-1對結(jié)合，之后還余中間項(xiàng)an.而每對結(jié)合都等于2an即：

a1+a2n-1=a2+a2n-2=…=an-1+an+1=2an,

所以有S2n-1=(2n-1)an.

但這種解法對一部分學(xué)生來說還有困難，若采用下列推導(dǎo)法就會使問題變的容易理解.

(法二)(倒序相加)

S2n-1=a1+a2+a3+…+an+…+a2n-3+a2n-2+a2n-1①,

S2n-1=a2n-1+a2n-2+a2n-3+…+an+…+a3+a2+a1②.

由①+②得2S2n-1=2(2n-1)an,所以S2n-1=(2n-1)an.

通過類比可得到如下結(jié)論：

命題2 若數(shù)列{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，Tn是其前n項(xiàng)積，則有T2n-1=(bn)2n-1.(類似于性質(zhì)1中的②式)

證明(倒序相乘)

T2n-1=b1·b2·b3·…·bn·…·b2n-3·b2n-2·b2n-1①,

T2n-1=b2n-1·b2n-2·b2n-3·…·bn·…·b3·b2·b1②.

由①×②得(T2n-1)2=(bn)2(2n-1),

所以T2n-1=(bn)2n-1.

反思求Tn時(shí)若不知n的奇偶性就需討論n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況來求解，如果采用倒序相乘就避免討論.

舉例如下：

Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，求Sn.

由①②得2an=n+1,

例2已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n=1,2,…)且a5·a2n-5=22n(n≥3)，則當(dāng)n≥1時(shí)求 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1的值.

解log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1·a3·…·a2n-1).

令Tn=a1·a3·…·a2n-1①,

Tn=a2n-1·a2n-3·…·a1②,

由①×② 得(Tn)2=(a1·a2n-1)·(a3·a2n-3)·…·(a2n-1·a1)=(a5·a2n-5)n=(22n)n,

∴Tn=2n2.則log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2Tn=log22n2=n2.

反思由例1的“倒序相加”類比出例2的“倒序相乘”使得問題得以順利解決.

類比是一種很重要的科學(xué)方法.在平時(shí)教學(xué)中只要肯東腦筋不斷對舊知識進(jìn)行類比探究，推陳出新，我們的教學(xué)就一定會收到事半功倍的效果.