待定系數(shù)法及其應用拓展

江蘇省揚州市田家炳實驗中學 宋 揚

一、待定系數(shù)法的特征

所謂待定系數(shù)法，是指按照實際情況，先設定一個合適的數(shù)學表達式，其中含有尚待確定的字母系數(shù)，再結(jié)合已知條件，得到關于字母系數(shù)為未知量的方程或方程組，然后解這個方程（組），從而把問題解出。

所設定的數(shù)學表達式通常是一個恒等式，或者是一個函數(shù)解析式，其中含有待定的常數(shù)（也稱系數(shù)），習慣上用一些常數(shù)字母來表示。

二、待定系數(shù)法的來歷

1.多項式的恒等變形。

2.函數(shù)解析式的確定。

三、待定系數(shù)法的理論根據(jù)

1.多項式恒等的定義。

2.多項式恒等定理及其推論，包括一元多項式的情形和多元多項式的情形。

四、待定系數(shù)法的應用領域

待定系數(shù)法應用比較廣泛，不僅適用于多項式的恒等變形，還適用于分式乃至一般代數(shù)式、一般數(shù)學表達式的恒等變形。另一方面，不僅適用于求簡單函數(shù)的解析式，也可用來確定較復雜函數(shù)的解析式。無論是初等數(shù)學的變形變式，還是高等數(shù)學的積分、級數(shù)等運算過程中，都常會用到待定系數(shù)法這個有力工具。

五、求待定系數(shù)的常用方法和技巧

1.比較系數(shù)法，即根據(jù)恒等式兩邊對應項的系數(shù)相等，從而進一步求解。

2.賦值法，即對變量取特殊的數(shù)值代入并求解。所取的數(shù)值，力求使運算簡便、快捷。

3.把比較系數(shù)和賦值結(jié)合起來，靈活運用。

對具體問題，到底采用上述三種方法中的哪一種，要根據(jù)具體情況來確定。

六、應用實例解析

例1 如果5x2+kx+7 除以5x-2 余5，求k的值及商式。

解：由于5x2÷5x=x，則根據(jù)帶余除法可設5x2+kx+7=(5x-2)(x+m)+5，

即5x2+kx+7=5x2+(5m-2)x-2m+5。

所以k=-7，商式為x-1。

例2k為何值時，多項式x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成兩個一次因式的積？并寫出相應的分解式。

解：因為x2+3x+2=(x+1)(x+2)，則可設原式=(x+my+1)(x+ny+2)，

即原式=x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2。

所以當k=-3 時，原多項式能因式分解，其分解式為x2-2xy-3y2+3x-5y+2=(x-3y+1)(x+y+2)。

通分后可得x2+x-3=A(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)。

例4 將5x3-6x2+3 按(x-1)的方冪展開。

解：設 原式=5(x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+c，

即原式=5x3+(a-15)x2+(-2a+b+15)x+(a-b+c-5)。

所以原式=5(x-1)3+9(x-1)2+3(x-1)+2。

例5 已知(x2+ax+b)10=(x+5)20-(cx+d)20，求a、b、c、d的值。

解：令x=-5，得(25-5a+b)10=-(-5c+d)20，

從而有d=5c，代入原式得(x2+ax+b)10=(1-c20)(x+5)20。

比較上式兩邊最高次項(即x20)的系數(shù)，得1=1-c20。

于是有c=0，d=5c=0，

原式化為(x2+ax+b)10=(x+5)20=(x2+10x+25)10。

比較兩端(括號內(nèi))系數(shù)得a=10，b=25。

所以，a=10，b=25,c=d=0。

例6 已知實數(shù)a,b滿足0 ≤a-b≤1，1 ≤a+b≤4，求當a-2b取最大值時，2018a+2019b的值。

解：設恒等式a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(-m+n)b。

此時2018a+2019b=2018。

例7 分解因式(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3。

解：設原式=f(x)，即把原式看成關于x的一元多項式，易得f(y)=0。由因式定理知，原式必有因式(x-y)。同理，(y-z)，(z-x)也是原式的因式。又原式是三次多項式，則可設原式=k(x-y)(y-z)(z-x)。

不妨令x=2，y=1，z=0，代入上式兩邊，即可得k=3，

所以原式=3(x-y)(y-z)(z-x)即為所求。

例8 已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]=4x-1，求f(x)的解析式。

解：設y=kx+b，則f[f(x)]=k(kx+b)+b=k2x+(kx+b)=4x-1。