在解題教學中提升學生數(shù)學素養(yǎng)——《解三角形》習題課教學案例

廣東省惠州市惠陽中山中學 劉錦亮

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》在課程“基本理念”中指出：通過高中數(shù)學課程的學習，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。解三角形是高考的熱點，考查核心是正弦定理、余弦定理、三角形面積公式；考查難度適中。學完解三角形整章知識后的習題課必是以鞏固基礎(chǔ)知識，圍繞正弦定理、余弦定理、三角形面積公式這些核心知識點展開；增加訓練的難度和綜合性；歸納解題規(guī)律，使學生學會解題，從而提高分析問題和解決問題的能力。

一、教學目標

1.熟記并能靈活應(yīng)用公式解決三角形的問題。

2.能利用公式解較復(fù)雜的綜合問題。

二、教學重點

應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式解三角形。

三、教學難點

培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力。

四、教學過程

（一）注重通法，扎實基礎(chǔ)

師：前段時間我們完成了《解三角形》的學習，今天上一節(jié)習題課。首先請同學們完成下面幾道題（多媒體投影）：

在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，則sinB=________；

在△ABC中，B=30°，a=2，c=4，則△ABC的面積為_____；

在△ABC中，已知a=4，b=6，A=120°，則邊c的值是（ ）

在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，則cosC=________________。

【設(shè)計意圖：圍繞核心知識點設(shè)計幾個基礎(chǔ)題，幫助學生回顧整節(jié)知識】

學生活動：在草稿上完成練習。

老師活動：在巡視中觀察學生完成情況。對個別學生進行指導(dǎo)。

師：題目比較基礎(chǔ)，剛看到大部分同學都較好地完成了。我們把答案核對一下，不講評。

（二）深入挖掘條件，加強范圍意識，提高思維的嚴謹性

師：剛才只是熱身，現(xiàn)在我們正式進入今天的主題：（多媒體投影）

【設(shè)計意圖：由已知條件求三角函數(shù)值，學生往往會忽略角的取值范圍，將本來能夠做對的題目因為考慮不全而做錯。這個例題條件比較隱蔽，判斷難度較大，學生需要具備嚴謹?shù)乃季S和較強的綜合分析能力，才能準確把握題意，作出正確的解答。

師：大家覺得這位同學的解答對不對？

生眾：點頭認同。

師：好，這位同學的思路很自然。

師：這里我還有一個問題：角A是銳角，還是鈍角同學們有沒有考慮過？

生眾：角A可以是銳角也可以是鈍角啊。

師：確定嗎？誰來告訴我你的判斷依據(jù)？

生眾：哦！原來角A是銳角。

師：很好！解決三角函數(shù)問題的一個關(guān)鍵點就是限制角的范圍；將角的取值范圍限制得越小，所得結(jié)果的準確性越高。限制角范圍的常用方法有：三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)線、比較大小等。（投影總結(jié)）希望同學們以后多長幾個“心眼”，深挖條件，嚴謹審題。

（三）圍繞核心知識點，增加訓練難度和綜合性

師：三角函數(shù)的綜合問題是高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn)。下面我們來看看它是怎么考查的，請同學們完成例2（多媒體投影）：

例2 （2019 年高考全國卷Ⅰ理科17 題）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC。

（1）求A；（2）若a+b=2c，求sinC。

【設(shè)計意圖：緊扣熱點。用正弦、余弦定理和三角形面積公式對三角形熱點問題進行綜合訓練，主要培養(yǎng)學生的知識綜合運用能力、觀察能力和分析問題能力；規(guī)范解題方法，總結(jié)解題規(guī)律】

師：很好，思路非常清晰。

師：非常好，第一個問題順利解決。第二個問題怎么辦呢？

師：此處應(yīng)該有掌聲?。ń淌翼懫馃崃业恼坡暎?/p>

師：這是第二個難點！角的范圍是同學們?nèi)菀壮鲥e的知識點。很多同學沒有充分挖掘已知條件，不能準確判斷角的范圍，從而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。

師：解決此類問題要根據(jù)已知條件靈活運用公式消元化簡，同時在求解過程中不斷考驗同學們的觀察能力和分析問題能力。

希望同學們課后多做練習，歸納解題方法，總結(jié)解題規(guī)律。最后剩下的時間整理鞏固今天的課堂內(nèi)容。

五、教學反思

1.學生主動參與課堂

學生是課堂的主體，只有學生全面參與的課堂才是成功的課堂。通過學生自主參與，我們感受到學生的課堂思維參與、投入的程度更強，問題意識也更強，對老師提出的問題不再等待教師的講，被動地聽，而是能夠積極地想。學生主動參與學習，知識得到了很好鞏固，也收獲了學習成功的樂趣。

2.精選典型例題，滲透解題思想方法

教師對例題精選、提煉，是知識與思維的“創(chuàng)新”，是教師在習題課中的教學升華，它所帶來的課堂效果是顯而易見的。例題的選擇要著眼于學生的最近學習內(nèi)容，體現(xiàn)“典型性、針對性、層次性”。選取例題的主要途徑有：（1）教材上的典型習題，例題；（2）易錯題；（3）近年的高考真題。在選題中，例題要能反映高中數(shù)學的核心知識和方法，要內(nèi)涵豐富，以點帶面，可以通過聯(lián)想、類比等方法遷移發(fā)散。例如“熱身”和例1 部分來源于教材課后練習，完美地體現(xiàn)解三角形的轉(zhuǎn)化思想，邊角轉(zhuǎn)化策略，同時也是經(jīng)典的例1“易錯題”，學生在得到兩根后判斷角A的范圍容易忽略導(dǎo)致錯誤結(jié)果。例題也可以選擇近年的高考試題，明確高考考什么、怎么考，可能會有哪些變形，激發(fā)學生的挑戰(zhàn)欲望，培養(yǎng)學生解題能力?？傊?，教師一定要把培養(yǎng)學生的解題思維放在首位，精選有利于模式化解題總結(jié)的例題，多選貼近高考的經(jīng)典題，多角度、有計劃地啟發(fā)和調(diào)動學生去進行積極的思維活動。

3.培養(yǎng)學生“說數(shù)學”

學生數(shù)學能力的培養(yǎng)是長期的，日積月累的。在解題教學中，教師積極創(chuàng)設(shè)情境，調(diào)動學生的求知欲，讓學生愿意讀數(shù)學、說數(shù)學。盡可能做到每一步都能和學生共同探討：為什么這么做？你是怎么想的？不管正確與否，哪怕是沒有根據(jù)的猜想，都鼓勵學生大膽提出問題，回答問題。讓學生用數(shù)學語言表達自己的想法，在解題過程中凸顯最核心的思想方法。

從本質(zhì)上來講，落實學生“四基”，提高數(shù)學能力，一定促進了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。教師應(yīng)當結(jié)合教學內(nèi)容、教學任務(wù)，設(shè)計合適的問題情境，引導(dǎo)學生用數(shù)學思維分析問題、解決問題，在問題解決的過程中促使學生理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。