對“最短路徑問題”的教學(xué)及反思

安徽省阜陽市第十九中學(xué) 韋中良

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動。因此，“綜合與實踐”一課可以為學(xué)生提供綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能和方法解決實際問題的機會，從而在實踐活動中逐漸學(xué)習(xí)“三會”，提高“四能”，深化“四基”。筆者在“阜陽市初中數(shù)學(xué)‘綜合與實踐’課程實施現(xiàn)狀及對策研究”課題組活動中，開設(shè)了“最短路徑問題”（人教版八年級上冊）探究課，以下是教學(xué)簡錄及思考，談?wù)勛约旱慕虒W(xué)體會。

一、教學(xué)簡錄

1.引言

前面我們研究了“兩點之間，線段最短”和“連接直線外一點與直線上各點的所有連線中，垂線段最短”等問題，我們稱這樣的問題為最短路徑問題。在我們的現(xiàn)實世界中有很多這樣涉及最短路徑的問題，今天我們就來一起探究有名的“將軍飲馬問題”。

2.建構(gòu)活動

活動1：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的小河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到小河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

圖1

學(xué)生在學(xué)習(xí)單上獨立思考，教師巡視完成情況。

教師：哪位學(xué)生愿意給我們展示一下你的做法？（沉默片刻）

學(xué)生1：（展示學(xué)習(xí)單上的圖形，直接在圖1 上畫圖）我是連接AB，與小河相交于C點，C點就是牧馬人要到的地方。

教師：也就是說，牧馬人到小河邊的C點處飲馬，可使所走的路徑最短。為什么呢？你能說明一下原因嗎？

學(xué)生1：因為“兩點之間，線段最短”。

教師：學(xué)生1 說得很準(zhǔn)確，但是這是一個實際問題，首先應(yīng)該做什么呢？

學(xué)生2：（不太確定的）應(yīng)該把它變成數(shù)學(xué)問題。

教師：嗯，你反應(yīng)很快，要怎么變呢？

（學(xué)生2 和大部分學(xué)生思考）

學(xué)生3：把河看成一條直線l，A地和B地看成兩個點。

教師：學(xué)生3 說得很好，這樣就把這個實際問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題，如圖2，再根據(jù)學(xué)生1的做法，就能解決這個問題了。同學(xué)們試一試。

圖2

活動2：如圖3，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的小河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到小河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？這就是歷史上著名的“將軍飲馬問題”。

圖3

教師：這兩個實際問題完全一樣嗎？有什么相同點和不同點？

學(xué)生4：不完全一樣，B的位置不一樣。

教師：學(xué)生4 觀察得很仔細(xì)。本題中A地和B地在河的同側(cè)。那你能把這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎?

學(xué)生在學(xué)習(xí)單上嘗試操作，畫出圖形，教師巡視完成情況，學(xué)生基本上都能畫出圖4。

圖4

教師：根據(jù)上一個問題的解決經(jīng)驗，你能否解決這個問題呢？（學(xué)生遲疑……）

教師：（繼續(xù)引導(dǎo)）那你能將這個問題轉(zhuǎn)化為上一個問題嗎？

學(xué)生5：這兩個問題的區(qū)別是點B的位置不一樣，如果要把這個問題轉(zhuǎn)化為上一問題，那就得把點B“挪”到直線l的另一側(cè)，這樣就和上個問題一樣了。

教師：學(xué)生5 說得非常好，那怎么“挪”呢？（學(xué)生沉默、思考）

教師：（繼續(xù)提示）將本題中的點B“挪”到直線l的另一側(cè)B'，并且滿足直線l上任意一點C到B與B'的距離都相等，即BC=B'C。這樣就將本題轉(zhuǎn)化為上一問題了。

學(xué)生6：（試探性地）可不可以利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B'？

教師：可不可以呢？

學(xué)生7：（肯定的）可以，因為根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可以得到BC=B'C。

教師：你說得對。這樣就把本題轉(zhuǎn)化為上一問題，從而可以根據(jù)上一題的方法解決這個問題。請同學(xué)們完成操作過程。

學(xué)生畫圖，完成操作，如圖5。

圖5

教師：那你能用所學(xué)知識證明AC+BC最短嗎？

學(xué)生獨立思考、合作交流，教師指導(dǎo)，完成證明。

3.歸納總結(jié)

教師：上述兩個問題可以歸納為“兩點一線”問題，但都是圍繞“最短路徑”展開，關(guān)于這類問題，你能否總結(jié)一下解決的方法？

學(xué)生8：我覺得應(yīng)該是把同側(cè)的點轉(zhuǎn)化到異側(cè)。

教師：你總結(jié)得很具體，可是“兩點一線”問題只是“最短路徑”問題的一部分。我們知道數(shù)學(xué)是千變?nèi)f化的，但是萬變不離其宗，你能總結(jié)更一般的方法嗎？

學(xué)生9：“最短路徑”問題是根據(jù)軸對稱的知識把直線同側(cè)的點轉(zhuǎn)化到異側(cè)，再由“兩點之間，線段最短”來確定點的位置。

4..延伸拓展

活動3：如圖6，牧馬營地在點A處，每天牧馬人趕著馬群先到草地a吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地，牧馬人如何走路，可使所走路徑最短？

圖6

學(xué)生獨立思考后，小組合作，最后找到最短路徑，如圖7。

圖7

5.數(shù)學(xué)化認(rèn)識

教師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課，你一定有自己的收獲吧！誰給我們分享一下？

學(xué)生自我總結(jié)，交流補充，教師總結(jié)，然后形成圖8。

圖8

二、教學(xué)反思

1.合理加工素材，促進(jìn)學(xué)生自主參與

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：要使學(xué)生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，合理選擇教材是關(guān)鍵。

筆者在選取本課素材時查閱了相關(guān)文獻(xiàn)，課本的處理是學(xué)生直接探究活動2，但是對我班學(xué)生來說有些困難，因此我選擇了起點較低的活動1，切入口小，簡單易操作，同時能夠喚醒學(xué)生探究問題的欲望，而且這個簡單的實際問題中也蘊含著解決問題的方法。

另外，根據(jù)學(xué)情，改變以往的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上直接畫圖操作，這樣教師備課更容易，學(xué)生操作更方便，從而進(jìn)一步增加了學(xué)生探究的興趣。

2.精心設(shè)計問題，助推學(xué)生有效探究

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：“綜合與實踐”活動有別于具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與的實踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動，由此可知，教師設(shè)計的問題會引領(lǐng)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)、探究，起到“火車頭”的作用。

本節(jié)課的“活動1”從“活動2”中脫胎出來，但難度低于“活動2”，學(xué)生易于上手，最大限度地喚醒了學(xué)生的探究欲望。更為重要的是，通過“活動1”的探究，學(xué)生了解了探究“最短路徑”的相關(guān)知識和“套路”，為后續(xù)探究“活動2”打下了堅實的基礎(chǔ)。因此，學(xué)生在探究“活動2”的時候，并沒有遇到太多的阻礙，相對容易地解決了本節(jié)的重點問題，提高了探究的有效性，并在此基礎(chǔ)上歸納總結(jié)出“最短路徑問題”的一般方法和解決實際問題的模式。這時學(xué)生的視野更加開闊，思維更加活躍。教師順理成章地提出更具有挑戰(zhàn)性的“活動3”，學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真分析，自然也能解決。

3.積累活動經(jīng)驗，提升學(xué)生核心素養(yǎng)

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出：積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。而“綜合與實踐”是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要載體。

這節(jié)課中，通過尋找“最短路徑”，引導(dǎo)學(xué)生討論怎樣發(fā)現(xiàn)問題，怎樣將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，怎樣綜合地利用數(shù)學(xué)知識、技能和方法解決問題，從而提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增強了應(yīng)用意識，積累了活動的經(jīng)驗，提高了實踐能力。同時，在這個過程中，學(xué)生通過將“活動2”轉(zhuǎn)化為“活動1”、“活動3”轉(zhuǎn)化為“活動2”，逐漸感悟著轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想和方法，而且學(xué)生不斷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，逐漸養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的意識，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。