一道希望聯(lián)盟夏令營試題的一般性結(jié)論的研究

陜西省西安市高新第三中學(710075)呂二動

題目1(2022 年中國數(shù)學聯(lián)盟夏令營試題) 已知?ABC為銳角三角形,A,B,C為其三個內(nèi)角, 則2 cotA+3 cotB+4 cotC的最小值為____.

筆者是第二次看到此題,與第一次看到的題目有所不同,只是把原來設(shè)定的非直角三角形改為銳角三角形.其解法沒有本質(zhì)變化,若將此問題的一般性結(jié)論的解法總結(jié)出來,會對讀者有一定的幫助!

一、試題推廣

題目1 的一般性結(jié)論已知x,y,z> 0, 且2(xy+yz+zx) >x2+y2+z2,A,B,C為其三個內(nèi)角, 則xcotA+ycotB+zcotC的最小值為

二、類似題目

引理對于任意的實數(shù)x,y,z, 在?ABC中, 有x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.

證明因為A+B+C=π,所以

故x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC成立.

以下三個問題都根據(jù)引理求解,限于篇幅,留給有興趣的讀者.

1.已知a,b,c是正實數(shù),且ab+bc+ca=1,對于任意的實數(shù)x,y,z有

2.設(shè)實數(shù)x,y,z, 且xyz> 0, 則在?ABC中有.

3.設(shè)實數(shù)x,y,z,且xyz>0,則在?ABC中有

本文給筆者的啟示是: 數(shù)學問題要善于總結(jié)和思考,更需要數(shù)學愛好者靜下來,沉下來,動起來.成功從來不是一蹴而就的,需要我們在不斷地探索與實踐中,深耕前行.只有不斷探究,才能在數(shù)學研究這條道路上走的更長遠.