從期望與方差的角度談高考英語(yǔ)的“七選五”題

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315)林國(guó)紅

一、研究的源由

高考英語(yǔ)中有一類叫“七選五”的試題,該題一般出現(xiàn)在試卷閱讀部分的第二節(jié),是一篇缺少5 個(gè)句子的文章,提供7個(gè)選項(xiàng)(A,B,C,D,E,F,G),要求學(xué)生根據(jù)文章的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容,從文后的7 個(gè)選項(xiàng)中選出5 個(gè)最佳選項(xiàng)填入文中相應(yīng)空白處,使文章完整、連貫通順.即“七選五”試題共有5 道選擇題,給出7 個(gè)選項(xiàng),其中有2 個(gè)多余選項(xiàng)(干擾選項(xiàng)),考生從中選擇5 項(xiàng)依次填入每道題中,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng),每選對(duì)一題得2.5 分.

若一位同學(xué)的英語(yǔ)水平不好,在做“七選五”題時(shí),若通過(guò)蒙題的方式答題,能做對(duì)多少題? 平均得分又是多少?

注所謂的“蒙”題,是指這篇文章你完全看不懂(或者不看文章內(nèi)容),5 個(gè)空白處隨便填入一個(gè)選項(xiàng).

二、第一種蒙題方式的探究

“七選五”試題中,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng),若不考慮同一選項(xiàng)被多次選擇的情況(即選項(xiàng)不能重復(fù)),對(duì)5 道題全部隨機(jī)作答,記答對(duì)的題數(shù)為X0,求X0的分布列與數(shù)學(xué)期望.

文[1]對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行深入的探究,得到X0的分布列.

0 1 2 3 4 5 P 1214 2520 905 2520 320 2520 70 2520 10 2520 1 2520

并求得X0的數(shù)學(xué)期望:

另外,可求得X0的方差:

三、第二種蒙題方式的探究

“七選五”試題中,每題只有一個(gè)正確選項(xiàng),若同一選項(xiàng)可被多次選擇,即每個(gè)空的選項(xiàng)可以部分相同,也可以全部相同,此時(shí)對(duì)5 道題全部隨機(jī)作答,記答對(duì)的題數(shù)為X,求X的分布列,數(shù)學(xué)期望與方差.

下面的討論約定“七選五”試題的正確答案為ABCDE,記? = {A,B,C,D,E,F,G},?1= {A,B,C,D,E},?2={G,F}.

3.1 選項(xiàng)全部相同(即MMMMM 型,M ∈?)

記答對(duì)的題數(shù)為X1, 則X1∈{0,1}.顯然, 隨機(jī)變量X1服從兩點(diǎn)分布,其分布列為:

X1 0 1__P 2/7 5/7

所以X1的數(shù)學(xué)期望為.方差為.

3.2 選項(xiàng)部分相同

1.MMMMN型,M,N∈?

記答對(duì)的題數(shù)為X2, 則X2∈ {0,1,2}.因?yàn)槭荕MMMN型, 所以只需從7 個(gè)選項(xiàng)中選出2 項(xiàng), 并按一定的順序填入5 個(gè)空中,共有種填法.

(1)當(dāng)X2=0 時(shí),有4 種情形:

①若M,N∈?2(如FFFFG型),有2 種選法,此時(shí)5個(gè)空中選4 個(gè)空填F,1 個(gè)空填G,則有種填法;

②若M∈?2,N∈?1(如FFFFA型),有2×5 種選法,此時(shí)只需第一個(gè)空填F,在剩余的4 個(gè)空選3 個(gè)填F,1個(gè)空填A(yù),則有種填法;

③若M∈?1,N∈?2(如AAAAF型),有2×5 種選法, 此時(shí)只需第一個(gè)空填F, 在剩余的4 個(gè)空全填A(yù), 則有種填法;

④若M,N∈?1(如AAAAB型), 有5 × 4 種選法,此時(shí)只需第一個(gè)空填B, 在剩余的4 個(gè)空全填A(yù), 則有種填法.所以, 當(dāng)X2= 0 時(shí), 共有10+40+10+20=80 種填法.

(2)當(dāng)X2=1 時(shí),有3 種情形:

①若M∈?2,N∈?1(如FFFFA型),有2×5 種選法, 此時(shí)只需第一個(gè)空填A(yù), 在剩余的4 個(gè)空全填F, 則有種填法;

②若M∈?1,N∈?2(如AAAAF型),有2×5 種選法,此時(shí)只需第一個(gè)空填A(yù),在剩余的4 個(gè)空選3 個(gè)填A(yù),1個(gè)空填F,則有種填法;

③若M,N∈?1(如AAAAB型),有5×4 種選法,此時(shí)第一個(gè)與第二個(gè)空只能填A(yù),在剩余的3 個(gè)空選2 個(gè)填A(yù),1 個(gè)空填B,則有種填法.所以,當(dāng)X2= 1時(shí),共有40+10+60=110 種填法.

(3) 當(dāng)X2= 2 時(shí), 只有1 種情形:M,N∈ ?1(如AAAAB型), 有5 × 4 種選法, 此時(shí)第一個(gè)需填A(yù), 第二個(gè)空需填B,在剩余的3 個(gè)空全填A(yù),則有種填法.從而可得X2的分布列為:

X2 0 1 2__P 80_________________210 110 210___20 210_

評(píng)注后述各種類型的解答與本類型的思路一致,限于篇幅,只給出最后的結(jié)果,不再分析詳細(xì)的求解過(guò)程.

2.MMMNN型,M,N∈?

記答對(duì)的題數(shù)為X3, 則X3∈{0,1,2}, 可得其分布列為:

X3 0 1 2__P 180_______420 180 420___60 420_

3.MMMNO型,M,N,O∈?

記答對(duì)的題數(shù)為X4,則X4∈{0,1,2,3},可得其分布列為:

X4 0 1 2 3 P 920 2100 890 2100 260 2100 30 2100

4.MMNNO型,M,N,O∈?

記答對(duì)的題數(shù)為X5,則X5∈{0,1,2,3},可得其分布列為:

X5 0 1 2 3 P 1440 3150 1230 3150 420 3150 60 3150

5.MMNOP型,M,N,O,P∈?

記答對(duì)的題數(shù)為X6,則X6∈{0,1,2,3,4},可得其分布列為:

X6 0 1 2 3 4 P 3940 8400 3160 8400 1080 8400 200 8400 20 8400

四、蒙題的期望與方差分析

4.1 期望分析

顯然E(X1) =E(X2) =E(X3) =E(X4) =E(X5) =E(X6) =E(X0),也就是說(shuō)不管用哪一種方式蒙題,期望做對(duì)的個(gè)數(shù)都是一樣的! 這樣的結(jié)果是巧合嗎?

事實(shí)上, 這個(gè)結(jié)果并不是巧合, 原因如下: 記事件Ai(i= 1,2,3,4,5)表示第i個(gè)空答對(duì),則.由全概率公式,得:

記答對(duì)的題數(shù)為X, 則X服從二項(xiàng)分布, 即, 于是, 所以采用蒙題方式答題, 期望做對(duì)的個(gè)數(shù)為,和有沒(méi)有重復(fù)選項(xiàng)沒(méi)有關(guān)系.

4.2 方差分析

五、蒙題方式答題的一些結(jié)論

通過(guò)兩種蒙題方式的分析,可以知道:

(2)高考英語(yǔ)“七選五”題型的設(shè)置是科學(xué)的,也是公平的,保證用蒙題方式答題的期望是相同的,能有效防止通過(guò)蒙題的方式得到高分;

(3)英語(yǔ)的“七選五”題采用蒙題的方式答題,其期望得分是非常低的,所以蒙題是非常不明智的舉措,如果你不想落入這種窘?jīng)r,那就只有好好學(xué)習(xí)了!

(4)如果英語(yǔ)水平不好,考試時(shí)確實(shí)看不懂文章的意思,只能用蒙題方式答題.從方差的角度看: 如果想保底獲得一點(diǎn)分?jǐn)?shù),可以填寫(xiě)5 個(gè)選項(xiàng)全部相同,這樣最保險(xiǎn);如果想博取更高的分?jǐn)?shù),則可以填寫(xiě)5 個(gè)選項(xiàng)均不相同,在運(yùn)氣好的情況下,有可能得滿分,但是“高回報(bào)意味著高風(fēng)險(xiǎn)”,因?yàn)樵谶x項(xiàng)不能重復(fù)情形下,全蒙錯(cuò)的概率為,即有接近一半的概率得0 分,這是各類蒙題方式中,全錯(cuò)概率最高的.

六、進(jìn)一步思考

在英語(yǔ)“七選五”題中,若考生能正確答對(duì)某題(或某幾題),剩余的題目完全不懂,采用蒙題方式進(jìn)行答題,那么答對(duì)題數(shù)的期望與方差又如何計(jì)算?

這類情況可以仿照前述的方法進(jìn)行分析,留給感興趣的讀者自行研究.