分解因式，尋根溯源

林盈蕭

最近我們學(xué)習(xí)了因式分解.在作業(yè)中我遇到了這樣一道習(xí)題：

已知a+b=2，則a²-b²+4b的值是_______。

此題雖然不難。但引起了我的興趣.我好好地將它“盤(pán)”了一番.

解法1：條件a+b=2，即a=2-b，呈現(xiàn)的是a與b的某種關(guān)聯(lián).我們可以將要求的式子中的所有的a用b來(lái)替換，便有：原式=（2-b）²-b²+4b=4-4b+b²-b²+4b=4。

解法2：同解法1.我們也可以用a來(lái)替換b，即b=2-a，同樣可得結(jié)果.

解法3：我們不僅可以在a，b間互相切換。也可以將2用a+b來(lái)替換，則：原式=a²-b²+2（a+b）b=a²+b²+2ab=（a+b）²=4。

解法4：原式中的a²-b²非常“顯眼”，所以分解因式后有a²-b²+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=4。

題目解到這里。呈現(xiàn)了多種方法，既有整式代換的核心理念.又有局部分解因式的先進(jìn)思路.但是我心中仍有困惑：究竟是什么原因讓這個(gè)代數(shù)式的值是一個(gè)常數(shù)呢？它的本質(zhì)是什么？我請(qǐng)教老師后恍然大悟.原來(lái)，a²-b²+4b=a²-b²+4b-4+4=a²-（b-2）²+4=（a+b-2）（a-b+2）+4。如果a+b=2，那么便有：原式=0x（a-b+2）+4=4。由此也發(fā)現(xiàn)，如果條件換為a-b=-2，原式的值也為4.如此一來(lái)，問(wèn)題就可以變得更開(kāi)放而且更深入.即當(dāng)a和b滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí).代數(shù)式a²-b²+4b為定值？答案應(yīng)該是a+b=2或a-b=-2.老師“狠狠地”表?yè)P(yáng)了我的刨根問(wèn)底的精神！

根據(jù)以上探究，我又自編了兩道題目，有興趣的同學(xué)不妨嘗試一下（答案在本期找）：

1.當(dāng)a和b滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí).代數(shù)式a²-2a-b²-4b為定值？并求出該定值.

2.當(dāng)a和b滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，代數(shù)式a²+4a+2ab+b²+4b+5為定值？并求出該定值.

老師點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)教育家傳種孫先生曾謂：“幾何之務(wù)不在知其然.而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然.”題海無(wú)涯。但萬(wàn)變不離其宗.運(yùn)用厚重而務(wù)實(shí)的代換思想，或者四兩撥千斤的因式分解，都可以尋找到此題的“源頭”。112EA24F-F0E1-40A7-9FEC-FB8FFA118CB6