隱藏于三角函數(shù)中的“向量思想”

羅世評(píng)

江西省南昌市灣里區(qū)第一中學(xué) (330004)

首先將利用向量思想推導(dǎo)任意兩角差的余弦公式及“輔助角”公式如下：

結(jié)論1任意兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ其中(α∈R,β∈R).

從上述兩個(gè)結(jié)論推導(dǎo)過程可以看出用向量思想來解決三角問題能獲得意想不到的效果，該公式的推導(dǎo)思路使學(xué)生能夠更好的理解“輔助角”公式的由來，也為后期更好應(yīng)用該公式打下良好基礎(chǔ).也體現(xiàn)了采用向量思想在三角中的重要地位.

分析：本例題來源于北師大版教材第三章第二節(jié)部分，教材中采用特殊角三角函數(shù)值、正弦兩角和公式及正弦函數(shù)性質(zhì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.根據(jù)本題給出的形式，不妨采用上述結(jié)論2中的向量思想求解，將會(huì)取得比較好的效果.

我們不妨對(duì)上述兩種“解題思路”進(jìn)行分析，教材中給出的解法著重強(qiáng)調(diào)對(duì)兩角和差公式的結(jié)構(gòu)理解和掌握，同時(shí)要求學(xué)生在“拼湊”兩角和差公式的過程中能靈活應(yīng)用特殊角三角函數(shù)值,再利用正弦函數(shù)性質(zhì)給出結(jié)論.而向量思想側(cè)重考察“轉(zhuǎn)化”思想，將如形asinθ±bcosθ的表達(dá)式，采用向量數(shù)量積運(yùn)算來表示對(duì)應(yīng)的函數(shù)，這將為解決函數(shù)最值或取值范圍問題提供更有效的方法.

分析:通過適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)得3ycosx-2sinx=4y-3，該式左邊形如asinθ±bcosθ的形式，滿足引例中的向量思想解答本題.

解析:由題意可知x∈R，原式可化為y(3cosx-4)=2sinx-3，即3ycosx-2sinx=4y-3.

解析:由題意易知y>0，原式可化簡(jiǎn)為ysinx=2-cosx，即ysinx+cosx=2.

例3 (教材改編)若關(guān)于x的方程(2k+3)sinx+kcosx=k+3有實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

從上面的3個(gè)例題中我們不難發(fā)現(xiàn)，如將三角問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)處理，使原式轉(zhuǎn)化成形如asinθ±bcosθ的形式，使用向量思想也將可以完美解決函數(shù)最值或取值范圍相關(guān)問題，并得到取等號(hào)時(shí)的對(duì)應(yīng)條件.這使得我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中，面對(duì)“輔助角”公式的理解和應(yīng)用感到困惑的學(xué)生，提供了一條不錯(cuò)的途徑.

分析:考慮到使用向量思想表示函數(shù)，不妨將原式變形為求f(x)-1=(1+sinx)(1+cosx)，利用單位圓，把函數(shù)取值與相應(yīng)四邊形或三角形面積聯(lián)系起來考慮，通過求面積大小來得到f(x)最值.

圖1

解析:如圖1，在單位圓和直角坐標(biāo)系中，不妨記

圖2 圖3

例5 (2018年全國(guó)Ⅰ理科)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值.

分析:通過化簡(jiǎn)知f(x)=2sinx(1+cosx),從形式看和例4有類似之處，利用單位圓，可將函數(shù)f(x)取值與對(duì)應(yīng)的三角形ΔABC面積聯(lián)系起來，利用三角形面積最值問題來求解f(x)的最小值.

圖4

解析:如圖4，通過單位圓不妨A(-1,0),B(cosx,sinx)，C(cosx,-sinx)，

評(píng)注：從以上例4、例5應(yīng)用向量思想求解三角問題的過程可以看出，當(dāng)我們恰當(dāng)?shù)睦脝挝粓A上點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)和向量相關(guān)知識(shí)，使得三角函數(shù)問題與對(duì)應(yīng)的幾何圖形面積聯(lián)系起來，從而為我們提供了一種用幾何方式解答三角問題的重要思想.