二次根式的求值技巧

李新云

二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、利用二次根式的定義

例1 已知x、y為實數(shù)，且滿足■-（y-1）■=0，則x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定義，得■≥0，■≥0，則有y-1≥0。

又1-y≥0，則可以求出y的值，從而x的值也可以求出。

解 已知等式即為■=（y-1）■。

因為■≥0，■≥0，

所以y-1≥0，即1-y≤0。

因為1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。

把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。

則原式=（-1）2013-12013=-2。

點評 若■有意義，則■中隱含著兩個非負(fù)數(shù)：一個是被開方數(shù)a≥0，另一個是■≥0。

二、利用倒數(shù)關(guān)系

例2 已知a=2+■，b=2-■，試求■-■的值。

分析 由ab=1，得a和b互為倒數(shù)，那么■=a，■=b。

解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。

則原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。

點評 如果ab=1，那么a和b互為倒數(shù)，即有■=a，■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

三、利用平方法

例3 若m=■，則m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因為m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

解 因為m=■=■+1。

所以m-1=■，（m-1）2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。

點評 對于m=■+b的多項式求值問題，應(yīng)先將這個條件變形為

m-b=■，然后兩邊平方，從而解決問題。

四、利用非負(fù)數(shù)和為零

例4 若■+（b-2）2=0，則a2+■-b=______。

分析 從已知等式出發(fā)，看看能否確定a2+■的值及b的值。

解 因為■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。

由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。

則原式=a+■2-2a·■-b=21。

點評 常見的非負(fù)數(shù)有：實數(shù)的絕對值，實數(shù)的平方，非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0，則每一個都等于0。

五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

例5 已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a-b=______。

分析 先確定m、n的值，再將其代入已知等式中，可知左邊有理數(shù)部分為1，無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。

因為amn+bn2=1，

所以23-■a+3-■2b=1。

所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。

所以6a+16b=1，2a+6b=0。

所以a=■，b=-■。

則2a-b=2×■-（-■）=■。

點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分，n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等，那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。

分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值，只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此，應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知兩等式即為a=■+■+b，c=b-■+■，

所以a-c=2■。

則原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）

=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。

點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式，將形如a2±2ab+b2的式子化為形如（a±b）2的形式。

練習(xí)

1.計算2■-6■+■的結(jié)果是（ ）

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a，則（ ）

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，則m-n=（ ）

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化簡后，結(jié)果正確的是（ ）

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式計算正確的是（ ）

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估計■×■+■的運算結(jié)果在（ ）

A.1到2之間 B.2到3之間

C.3到4之間 D.4到5之間

7.若a<1，化簡■-1等于（ ）

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a，則a-20112的值是（ ）

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

練習(xí)參考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、利用二次根式的定義

例1 已知x、y為實數(shù)，且滿足■-（y-1）■=0，則x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定義，得■≥0，■≥0，則有y-1≥0。

又1-y≥0，則可以求出y的值，從而x的值也可以求出。

解 已知等式即為■=（y-1）■。

因為■≥0，■≥0，

所以y-1≥0，即1-y≤0。

因為1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。

把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。

則原式=（-1）2013-12013=-2。

點評 若■有意義，則■中隱含著兩個非負(fù)數(shù)：一個是被開方數(shù)a≥0，另一個是■≥0。

二、利用倒數(shù)關(guān)系

例2 已知a=2+■，b=2-■，試求■-■的值。

分析 由ab=1，得a和b互為倒數(shù)，那么■=a，■=b。

解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。

則原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。

點評 如果ab=1，那么a和b互為倒數(shù)，即有■=a，■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

三、利用平方法

例3 若m=■，則m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因為m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

解 因為m=■=■+1。

所以m-1=■，（m-1）2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。

點評 對于m=■+b的多項式求值問題，應(yīng)先將這個條件變形為

m-b=■，然后兩邊平方，從而解決問題。

四、利用非負(fù)數(shù)和為零

例4 若■+（b-2）2=0，則a2+■-b=______。

分析 從已知等式出發(fā)，看看能否確定a2+■的值及b的值。

解 因為■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。

由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。

則原式=a+■2-2a·■-b=21。

點評 常見的非負(fù)數(shù)有：實數(shù)的絕對值，實數(shù)的平方，非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0，則每一個都等于0。

五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

例5 已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a-b=______。

分析 先確定m、n的值，再將其代入已知等式中，可知左邊有理數(shù)部分為1，無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。

因為amn+bn2=1，

所以23-■a+3-■2b=1。

所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。

所以6a+16b=1，2a+6b=0。

所以a=■，b=-■。

則2a-b=2×■-（-■）=■。

點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分，n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等，那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。

分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值，只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此，應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知兩等式即為a=■+■+b，c=b-■+■，

所以a-c=2■。

則原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）

=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。

點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式，將形如a2±2ab+b2的式子化為形如（a±b）2的形式。

練習(xí)

1.計算2■-6■+■的結(jié)果是（ ）

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a，則（ ）

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，則m-n=（ ）

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化簡后，結(jié)果正確的是（ ）

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式計算正確的是（ ）

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估計■×■+■的運算結(jié)果在（ ）

A.1到2之間 B.2到3之間

C.3到4之間 D.4到5之間

7.若a<1，化簡■-1等于（ ）

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a，則a-20112的值是（ ）

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

練習(xí)參考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C

二次根式求值問題是二次根式學(xué)習(xí)中常見的問題。解答時必須考慮利用一些解題技巧。下面舉例說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

一、利用二次根式的定義

例1 已知x、y為實數(shù)，且滿足■-（y-1）■=0，則x2013-y2013=___。

分析 由二次根式的定義，得■≥0，■≥0，則有y-1≥0。

又1-y≥0，則可以求出y的值，從而x的值也可以求出。

解 已知等式即為■=（y-1）■。

因為■≥0，■≥0，

所以y-1≥0，即1-y≤0。

因為1-y≥0，所以1-y=0，即y=1。

把y=1代入已知等式，得■=0，解得x=-1。

則原式=（-1）2013-12013=-2。

點評 若■有意義，則■中隱含著兩個非負(fù)數(shù)：一個是被開方數(shù)a≥0，另一個是■≥0。

二、利用倒數(shù)關(guān)系

例2 已知a=2+■，b=2-■，試求■-■的值。

分析 由ab=1，得a和b互為倒數(shù)，那么■=a，■=b。

解 由a=2+■，b=2-■，得ab=1，a+b=4，a-b=2■。

則原式=a·■-b·■=a2-b2=（a+b）（a-b）=8■。

點評 如果ab=1，那么a和b互為倒數(shù)，即有■=a，■=b。解題時我們要注意利用這一性質(zhì)。

三、利用平方法

例3 若m=■，則m5-2m4-2013m3的值是______。

分析 因為m5-2m4-2013m3=m3（m2-2m-2013），要求原式的值，關(guān)鍵在于確定m3及m2-2m-2013的值。

解 因為m=■=■+1。

所以m-1=■，（m-1）2=2014。

所以m2-2m-2013=0。

所以原式=m3（m2-2m-2013）=0。

點評 對于m=■+b的多項式求值問題，應(yīng)先將這個條件變形為

m-b=■，然后兩邊平方，從而解決問題。

四、利用非負(fù)數(shù)和為零

例4 若■+（b-2）2=0，則a2+■-b=______。

分析 從已知等式出發(fā)，看看能否確定a2+■的值及b的值。

解 因為■≥0，（b-2）2≥0，所以a2-5a+1=0，b-2=0。

由a2-5a+1=0，得a2+1=5a，a+■=5；由b-2=0，得b=2。

則原式=a+■2-2a·■-b=21。

點評 常見的非負(fù)數(shù)有：實數(shù)的絕對值，實數(shù)的平方，非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方根。若其中任意兩個或三個的和等于0，則每一個都等于0。

五、利用實數(shù)相等的性質(zhì)

例5 已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示5-■的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a-b=______。

分析 先確定m、n的值，再將其代入已知等式中，可知左邊有理數(shù)部分為1，無理數(shù)部分為0。由此可以確定a、b的值。

解 由2<5-■<3，得m=2，n=（5-■）-2=3-■。

因為amn+bn2=1，

所以23-■a+3-■2b=1。

所以（6a+16b）-（2a+6b）■=1。

所以6a+16b=1，2a+6b=0。

所以a=■，b=-■。

則2a-b=2×■-（-■）=■。

點評 任意一個實數(shù)都可寫成m+n■的形式。其中m是它的有理數(shù)部分，n■是它的無理數(shù)部分。如果兩個實數(shù)相等，那么它們的有理數(shù)部分和無理數(shù)部分必然分別相等。

六、利用配方法

例6 如果a-b=■+■，b-c=■-■，那么2（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=______。

分析 根據(jù)已知兩等式不可能單獨確定a、b、c的值，只能確定a-b、b-c、a-c的值。因此，應(yīng)將原式變形成關(guān)于a-b、b-c、a-c的式子。

解 已知兩等式即為a=■+■+b，c=b-■+■，

所以a-c=2■。

則原式=（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ca+c2）

=（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

=（■+■）2+（■-■）2+（2■）2=34。

點評 配方的實質(zhì)是逆向應(yīng)用完全平方公式，將形如a2±2ab+b2的式子化為形如（a±b）2的形式。

練習(xí)

1.計算2■-6■+■的結(jié)果是（ ）

A.3■-2■ B.5-■ C.5-■ D.2■

2.如果■=1-2a，則（ ）

A.a<■ B.a≤■ C.a>■ D.a≥■

3.已知6-3m+（n-5）2=3m-6-■，則m-n=（ ）

A.2 B.1 C.-1 D.-2

4.把二次根式a■化簡后，結(jié)果正確的是（ ）

A.■ B.-■ C.-■ D.■

5.下列各式計算正確的是（ ）

A.■+■=■ B.2+■=2■

C.3■-■=2■ D.■=■-■

6.估計■×■+■的運算結(jié)果在（ ）

A.1到2之間 B.2到3之間

C.3到4之間 D.4到5之間

7.若a<1，化簡■-1等于（ ）

A.a-2 B.2-a C.a D.-a

8.已知實數(shù)a滿足2011-a+■=a，則a-20112的值是（ ）

A.2011 B.2010 C.2012 D.2009

練習(xí)參考答案

1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C