巧用三角公式求數(shù)列通項

河北省邯鄲市第一中學(xué)(056002) 白春林

近年來,隨著大學(xué)招生模式的變更,強(qiáng)基計劃的實施,很多尖子生都寄希望于通過自主招生獲得一定的加分.縱觀歷年各校的自主招生試題可以發(fā)現(xiàn),有關(guān)遞推數(shù)列求通項的問題始終受到命題者的青睞.但是這部分題目往往難度較大,方法新穎,很多考生無從下手.下面就本人近年的教學(xué)實踐,提供一類遞推數(shù)列求通項的三角代換解法,希望對考生有所幫助.

例1數(shù)列{an}滿足求a2020.

分析通過計算可得可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是一個周期數(shù)列,周期為6,所以a2020=a4=-2+

作為一個選擇題,我們可以很快得到答案,但是數(shù)列的周期性與三角的周期性是否有關(guān)系呢? 通過下面的探究來解答.

探究把原式中分式部分上下同除以可得類比兩角和的正切公式tan(α+β)=設(shè)an-1=tanα,則原式可以變形為an=又因為a0=所以

總結(jié)通過上面的解答過程可以發(fā)現(xiàn),一個常見的周期性數(shù)列問題,其實是三角公式與數(shù)列的結(jié)合,通過對比研究,發(fā)現(xiàn)還有很多類似的題目,可以通過三角的公式與數(shù)列結(jié)合分析.

例2已知正數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an之間滿足:則數(shù)列{an}的通項公式.

分析由Sn· an=作差變形可得2n-1an-1=類比正切的二倍角公式tan 2θ=設(shè)2nan=tanθn可得θn=從而求出an.

解析由原式可得:n≥2.作差得:

類比正切的二倍角公式tan 2θ=與上式有相似之處,所以把上式變形為:設(shè)2nan=tanθn,其中tan 2θn,所 以θn=因為a1=1,tanθ1=1,θ1==tanθn=

例3已知數(shù)列{an}滿足an+1=a1=1,求an.

分析常規(guī)思路利用an+1=Sn+1-Sn帶入原式無法求出通項,本題的巧妙之處是數(shù)列與余弦定理的相結(jié)合,把=+Sn+1 類比余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可以發(fā)現(xiàn)有相似之處,通過構(gòu)造可得=+1-2Sn·1·在三角形中構(gòu)造an+1與Sn的關(guān)系.

解析由an+1=可得an＞0,Sn＞0,把原式兩邊平方并化簡可得=+Sn+1,即=+1-2Sn·1·構(gòu)造一個三角形,三邊分別是an+1,1,Sn,在三角形中設(shè)Sn和an+1的夾角為θn,考慮到Sn+1=Sn+an+1,可構(gòu)造如下圖形,上圖中的三角形滿足易得θn=2θn+1,因為θ1=π3,所以在圖(1)的三角形中利用正弦定理可得所以

圖(1)

圖(2)

三角函數(shù)的應(yīng)用極為廣泛,可以溝通不同的數(shù)學(xué)知識點,如三角與不等式,三角與函數(shù),三角和解析幾何,三角與數(shù)列等等,利用三角代換,常?？梢酝黄齐y點,提供簡單的解決方法.三角代換是一種典型、實用且簡便的解題方法.

本文探討如何依據(jù)三角函數(shù)公式,通過類比的方法求出有關(guān)遞推數(shù)列的通項問題,涉及兩角和的正切公式,正切的二倍角公式,余弦定理,正弦定理以及數(shù)列求通項公式的聯(lián)合應(yīng)用.數(shù)列是高中教材的重點和難點,而遞推數(shù)列則是難點中的難點,多數(shù)為探求數(shù)列的性質(zhì).而且有許多問題可以借助三角公式進(jìn)行代換從而得到巧解.