建立概率模型需謹慎

安徽省阜陽市臨泉田家炳實驗中學(236400) 安振亞

2019年5月,在某市教研活動上,筆者執(zhí)教了“2.2 建立概率模型[1]”一課,其中例1 引起了與會者的很大爭議.那么,“爭議”何在? 如何解釋這些“爭議”? 怎樣認識古典概型的兩個特征? 針對以上三個問題,筆者談談自身的一些看法,期待與大家分享.

1 問題與解答

例1口袋里共有4 個球,其中有2 個是白球,2 個是黑球,這4 個球除顏色外完全相同.4 個人按順序依次從中摸出一個球(不放回),試計算第二個人摸到白球的概率.

此例是生活中很多問題的模型,比如抓鬮發(fā)獎問題、抽簽問題、排序占位問題等.它的4 種解法如下(圖形略):

解法1考察試驗E1:4 個人按順序依次從中摸出一個球,記錄摸球的所有結(jié)果.

把2 個白球編上序號1,2,記摸到1,2 號白球的結(jié)果分別為w1,w2;2 個黑球也編上序號1,2,記摸到1,2 號黑球的結(jié)果分別為b1,b2.試驗E1的樣本空間

Ω1={w1w2b1b2,w1w2b2b1,w1b1w2b2,w1b1b2w2,w1b2w2b1,w1b2b1w2,w2w1b1b2,w2w1b2b1,w2b1w1b2,w2b1b2w1,w2b2w1b1,w2b2b1w1,b1w1w2b2,b1w1b2w2,b1w2w1b2,b1w2b2w1,b1b2w1w2,b1b2w2w1,b2w1w2b1,b2w1b1w2,b2w2w1b1,b2w2b1w1,b2b1w1w2,b2b1w2w1}

共有24 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這24 個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的,從而用古典概型來計算概率.

用事件A表示“第二個人摸到白球”,則此時事件

A={w1w2b1b2,w1w2b2b1,w2w1b1b2,w2w1b2b1,b1w1w2b2,b1w1b2w2,b1w2w1b2,b1w2b2w1,b2w1w2b1,b2w1b1w2,b2w2w1b1,b2w2b1w1}

解法2因為是計算“第二個人摸到白球”的概率,所以只考慮前兩個人摸球的情況.考察試驗E2:前兩個人按順序依次從中摸出一個球,記錄摸球的所有結(jié)果.

試驗E2的樣本空間

Ω2={w1w2,w1b1,w1b2,w2w1,w2b1,w2b2,b1w1,b1w2,b1b2,b2w1,b2w2,b2b1}

共有12 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這12 個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的,從而用古典概型來計算概率.

依題意可知此時事件A={w1w2,w2w1,b1w1,b1w2,b2w1,b2w2},包含6 個樣本點,因此P(A)=

解法3由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以對2 個白球不加區(qū)別,對2 個黑球也不加區(qū)別.考察試驗E3:4 個人按順序依次從中摸出一個球,只記錄摸出球的顏色.試驗E3的樣本空間Ω3={wwbb,wbwb,wbbw,bwwb,bwbw,bbww},共有6 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這6個樣本點出現(xiàn)的可能性也是相等的,從而用古典概型來計算概率.

依題意可知此時事件A={wwbb,bwwb,bwbw},包含3個樣本點,因此P(A)=

解法4進一步簡化,只考慮第二個人摸球情況.考察試驗E4:4 個人按順序依次從中摸出一個球,只記錄第二個人摸出球的情況.試驗E4的樣本空間Ω4={w1,w2,b1,b2},共有4 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這4 個樣本點出現(xiàn)的可能性也是相等的,從而用古典概型來計算概率.

依題意可知,事件A={w1,w2},包含2 個樣本點,因此

2 爭議與解釋

爭議一

根據(jù)例1“4 個人按順序依次從中摸出一個球(不放回)”,只能建立解法1 中的古典概型,其他三種解法中的古典概型都是錯誤的.

解釋

該爭議主要聚焦在“對于同一個問題能不能建立不同的模型”上.對于該爭議,在2019年11月“首屆京師數(shù)學教育大會”上,張飴慈教授就曾作出說明:“現(xiàn)實中,一個試驗有哪些結(jié)果是一回事,一旦用數(shù)學來描述它有哪些結(jié)果,已經(jīng)是在建立模型了.也就是說,當研究一個問題時,我們認為這個試驗有哪些結(jié)果,是我們認定的.”因此,對于一個隨機試驗,可以從不同的視角建立不同的概率模型.這些模型只要滿足所有出現(xiàn)的可能結(jié)果的概率之和為1,就沒有正確與錯誤之分,只有簡單與復雜之別.比如例1,要計算第二個人摸到白球的概率,結(jié)合四個人摸球順序以及球是否區(qū)分,建立四種概率模型.這四種模型均滿足有限性和等可能性,都屬于古典概型.需要說明一點,建立古典概型,關(guān)鍵是抓住刻劃欲求概率事件的本質(zhì)特點,將無關(guān)條件盡可能的去掉不予考慮,即在保證有限等可能的條件下使考慮范圍盡可能小[2],達到優(yōu)化模型的目的.

爭議二

不難看出,解法2 是解法1 的簡化.類似地,可對解法3、解法4 做同樣的簡化(由于解法4 與解法3 簡化的結(jié)果類同,因此只研究解法3 的簡化),得到:

解法5因為是計算“第二個人摸到白球”的概率,所以只考慮前兩個人摸球的情況,并對2 個白球不加區(qū)別,對2 個黑球也不加區(qū)別.考察試驗E5:前兩個人按順序依次從中摸出一個球,記錄摸出球的顏色.

試驗E5的樣本空間Ω5={ww,wb,bw,bb},共有4 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這4 個樣本點出現(xiàn)的可能性也是相等的,從而用古典概型來計算概率.

依題意可知事件A={ww,bw},包含2 個樣本點,故P(A)=

與會者的爭議聚焦在“試驗E5是否屬于古典概型”上.

解釋

從解答的過程與結(jié)果看,解法5 似乎沒有問題.然而,如果解法5 沒有問題,那么教材為何給出了前四種解法,而“無視”解法5 呢? 難道是教材篇幅受限的緣故嗎? 在回答這兩個問題之前,先看一個例子.

例2口袋里共有5 個球,其中有2 個是白球,3 個是黑球,這5 個球除顏色外完全相同.5 個人按順序依次從中摸出一個球(不放回),試計算第二個人摸到白球的概率.

利用解法5 建立的模型容易得到P(A)=然而,事實并非如此這說明該模型不能實現(xiàn)有效遷移.我們可以大膽的猜測:該模型滿足有限性,不滿足等可能性,不屬于古典概型.這應該是教材沒有安排解法5 的緣故吧!

為了說明試驗E5不滿足等可能性,首先構(gòu)造正四面體,2 個白球和2 個黑球分別在四個頂點上(如圖1);然后在第一個人從四個球中摸出一個球的情況下,考慮第二個人的摸球情況.比如第一個人摸出的是白球,第二個人只能從剩下的三個球中摸出一個,由于這三個球除顏色外完全相同,并且黑球數(shù)是白球數(shù)的2 倍,因此摸到黑球的可能性是摸到白球的2倍,即{wb}出現(xiàn)的可能性是{ww}的2 倍.同樣,{bw}出現(xiàn)的可能性是{bb}的2 倍.故試驗E5不滿足等可能性,不屬于古典概型.

圖1

從另一個角度看,因為解法5 是解法3 的簡化,所以Ω5的樣本點與Ω3的樣本點存在一種對應,即ww→wwbb;wb→wbwb,wbbw;bw→bwwb,bwbw;bb→bbww,可以認為P({ww})=P({bb})=P({wb})=P({bw})=由此可以說明試驗E5不滿足等可能性.然而,這樣計算容易產(chǎn)生誤解,因為{ww}、{bb}、{wb}、{bw}不是Ω3的子集,所以它們的概率在試驗E3中并不存在.

如果既想算出每一個樣本點的概率,又不引起誤解,那么可以這樣:由解法2 得到試驗E2的樣本空間Ω2={w1w2,w1b1,w1b2,w2w1,w2b1,w2b2,b1w1,b1w2,b1b2,b2w1,b2w2,b2b1},共有12 個樣本點.由于口袋內(nèi)的4 個球除顏色外完全相同,因此可以認為這12 個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的,因此該試驗屬于古典概型.而{ww}、{wb}、{bw}、{bb}是試驗E5的隨機事件,也是試驗E2的隨機事件.故在試驗E2中,隨機事件{ww}包含兩個樣本點w1w2、w2w1,故P({ww})=同樣,可計算出P({bb})=P({wb})=P({bw})=故試驗E5不滿足等可能性.

爭議三

解法5 在模型錯誤的情況下,結(jié)論卻是正確的,這是一種巧合還是一種必然?

解釋

試驗E5雖然不屬于古典概型,但并不代表不屬于其他模型.由爭議2 的解釋知,試驗E5的樣本空間有四個樣本點,并且P({ww})=P({bb})=P({wb})=P({bw})=因為P({ww})+P({bb})+P({wb})+P({bw})=1,所以試驗E5是一個概率模型.由于A={ww}∪{bw},且{ww}∩{bw}=?,因此P(A)=P({ww})+P({bw})=

故解法5 的結(jié)果“正確”既是一種巧合,也是一種必然.

以上的解釋告訴我們:建立概率模型需要謹慎,不要被隨機試驗表面的“等可能性”所迷惑,從而作出錯誤的判斷.

3 對古典概型兩個特征的認識

判斷一個隨機試驗是否屬于古典概型,關(guān)鍵看它是否滿足有限性和等可能性.

(1)有限性

對于一個隨機試驗,一旦樣本空間確定,它的樣本點就確定了.因此,判斷隨機試驗是否滿足有限性,只需研究樣本空間即可.而樣本空間只與問題的背景有關(guān)[3],也就是與對應的隨機試驗有關(guān).對于同一個問題,建立的隨機試驗不同,得到的樣本空間也有差別.然而,樣本空間不是高中數(shù)學課程固有的,而是新增加的內(nèi)容,為什么要增加它呢?

關(guān)于這個問題,史寧中、王尚志在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)解讀》中作出說明:“古典概型是有限樣本空間的重要實例.如果不講有限樣本空間,直接從古典概型說起,會對學生理解概率造成一定的影響.[4]”筆者認為“影響”體現(xiàn)在以下兩個方面:

一方面,引進樣本空間可以避免混淆與謬誤.

首先,在數(shù)學中,研究問題總是在一定的空間內(nèi)進行的,如果空間變化了,那么結(jié)果也可能會發(fā)生變化.比如研究函數(shù),需要明確它的定義域,因為定義域變了,函數(shù)也就變了.研究隨機現(xiàn)象同樣如此.要計算一個隨機事件的概率,首先要明確它所在的范圍,即樣本空間.樣本空間可以有不同的取法,但是一定要認清,樣本點數(shù)和隨機事件包含的樣本點數(shù)的計算都要在同一個樣本空間中進行,否則會引起混淆并導致謬誤!

其次,在引進樣本空間之前,隨機試驗的每一個結(jié)果叫基本事件,所有的基本事件構(gòu)成基本事件空間.在這里,基本事件是一個元素.因為隨機事件是基本事件空間的子集,基本事件是特殊的隨機事件,所以基本事件也是一個集合.然而在利用古典概型的概率公式計算概率時,又把基本事件當成了隨機事件的元素.盡管這不重要,但是會對初學古典概型的學生造成一定的困擾.

另一方面,引進樣本空間可實現(xiàn)隨機現(xiàn)象“數(shù)學化”.

概率論研究的對象是客觀世界的隨機現(xiàn)象.而每一類隨機現(xiàn)象都可由一個隨機試驗刻畫.考察一個隨機試驗E有n個可能結(jié)果:w1,w2,···,wn,其中wi(i=1,2,···,n)稱為樣本點.這n個樣本點組成的集合稱為有限樣本空間,記作Ω={w1,w2,···,wn}.Ω 有2n個子集,每一個子集都代表一個隨機事件,其中必然事件與不可能事件可看作特殊的隨機事件納入其中.這樣,可以用集合的關(guān)系與運算來表達隨機事件的關(guān)系(比如“A發(fā)生導致B發(fā)生”可用“A ?B”表達),為概率的研究帶來了集合的語言與工具,從而實現(xiàn)了隨機現(xiàn)象的初步數(shù)學化.更進一步,隨機試驗E的2n個隨機事件構(gòu)成事件域F.對于給定的隨機試驗E,就有相應的一個樣本空間Ω,事件域F和概率P,其中F是一個布爾代數(shù),P是定義在F上的一個非負的、規(guī)范的有限可加集函數(shù).對隨機試驗這樣的一個直觀對象,就可以用“數(shù)學化”的語言來描述它們,從而為學生進一步學習概率論奠定基礎.

(2)等可能性

“等可能性”是古典概型的一個基本特征,是判斷一個隨機試驗是否屬于古典概型的關(guān)鍵.古典概型適用于“一些特殊情況”,是區(qū)別于通過大量重復試驗估計概率的一種簡捷方法,但它的前提是“理想狀態(tài)”下的,具有高度的抽象性.其中“等可能性”是一個原始概念,無法確切證明,只能借助實際背景體會[5].對于一些簡單的隨機試驗,比如擲硬幣、擲骰子等,其“等可能性”尚能通過試驗工具的直觀得到體會.而對于復雜的隨機試驗(比如例1 的解法3)又該如何體會呢?綜觀現(xiàn)行的不同版本高中數(shù)學教材,往往一句“每個樣本點出現(xiàn)的可能性都相等”,就把“等可能性”這一關(guān)鍵特征講完了.然而它豈是一句話所能講清楚的,尤其面對模型簡化以及學生的知識局限的情況.

在古典概型中,所謂“等可能性”,正是“對稱性”的一種后果,因為各個樣本點處在“對稱”的位置上,所以才有“等可能性”[6].然而關(guān)于“對稱”,我們比較熟悉“軸對稱”、“中心對稱”,它們既可以通過“形”的直觀判定,也可以通過“數(shù)”的嚴謹推導.而樣本點的對稱,對于學生而言又談何容易理解,就是教師也不一定能說清楚.所以,這不僅要求學生結(jié)合具體的隨機試驗體會,還要求教師盡可能的構(gòu)造直觀模型(比如圖1)幫助學生領悟.

當然,在現(xiàn)實生活中很難界定“事件的等可能性”,有些隨機事件雖符合此特征,但由于多方面現(xiàn)實因素不易得出基本事件的個數(shù).要解決這類問題,仍需要利用概率的統(tǒng)計定義,通過大量重復試驗進行估計.