一道征解問題的探究與變式

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)(225103) 李加朝

湖北省武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院商學(xué)院(430074) 鄒 峰

一、題目呈現(xiàn)

題目(《數(shù)學(xué)通訊》(上半月)2019年第10 期問題423) 已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=36,求p=xy+xz+yz+x+20y+51z的最大值.

二、解題探究

解答數(shù)學(xué)問題,首先要讀題,理解題意.題意,就是命題者的命題意圖.可從題目的條件和結(jié)論兩方面觀察,探求條件和結(jié)論之間的聯(lián)系,在條件和結(jié)論之間搭建“橋梁”,進(jìn)而找到解題思路,通過嘗試、調(diào)控、整理等“打草稿”的過程,最后寫出完整的解答.

本題條件是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)x,y,z的實(shí)系數(shù)三元二次方程,且只有平方項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),而所求為關(guān)于實(shí)數(shù)x,y,z的實(shí)系數(shù)三元二次函數(shù)的最大值.顯然需將此函數(shù)放大為關(guān)于“x2+2y2+3z2”的表達(dá)式,看來可用二元均值不等式來逐項(xiàng)放大來實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).但要求其最大值,又需要求出的常數(shù)能夠取到.這可從觀察已知不定方程x2+2y2+3z2=36的一些特殊解來嘗試,也可從要求式子中字母與字母、數(shù)字之間的關(guān)系考慮,或用待定系數(shù)法通過解方程組來獲得取最值條件.

解法1因?yàn)閤,y,z ∈R,x2+2y2+3z2=36,所以

又當(dāng)x=1,y=2,z=3 時(shí),且p=205,故當(dāng)x=1,y=2,z=3 時(shí),p取得最大值為205.

三、命題揭秘

解法2由均值不等式得:xy≤x2+xz≤5y2+20,51z≤把這六者相加即得p≤3(x2+2y2+3z2)+97=3×36+97=205,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=2,z=3 時(shí)取等號(hào),則pmax=205.

四、變式研究

找到解決問題的“鑰匙”,也就找到命題者命題的方法和技巧,從而同學(xué)們也可以實(shí)現(xiàn)從學(xué)會(huì)解題到學(xué)會(huì)出題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

1 增加字母?jìng)€(gè)數(shù),可以命制更多元的最值問題

變式1已知a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),且=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+12a2+23a3+34a4的最大值.

解由均值不等式得:這十者相加即得

當(dāng)且僅當(dāng)a1=1,a=2,a3=3,a4=4 時(shí)取等號(hào),故a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+12a2+23a3+34a4的最大值為265.

變式2若a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),滿足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+12a1+a2+34a3+23a4的最大值.

根據(jù)正交試驗(yàn)結(jié)果可知,檸檬酸的添加量對(duì)飲料的口感影響最大,而果汁添加量和白砂糖的添加量對(duì)飲料口感的影響次之,各因素的影響程度依次為C>A>B,根據(jù)方差分析結(jié)果可知,檸檬酸的添加量對(duì)飲料的口感有顯著性影響。因此得到黃刺玫果飲料制備工藝的最佳組合為A 2 B1 C2,即料液比1:8,白砂糖8%,檸檬酸0.2%。

提示當(dāng)a1=2,a2=1,a3=4,a4=3 時(shí),取得最大值為265.

2 更換字母系數(shù),可以命制不同的最值問題

變式3已知a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),且滿足=100,求p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+a1+32a2+83a3+154a4的最大值.

解由均值不等式得:

3 引入?yún)?shù)系數(shù),可以命制含參最值問題

變式4若k≥且k為常數(shù),實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=36,求p=xy+xz+yz+(2k-5)x+(8k-4)y+(18k-3)z的最大值.

解由均值不等式得:(8k-4)y≤(2k-1)y2+4(2k-1),(18k-3)z≤把這六者相加即得p≤當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=2,z=3 時(shí)取等號(hào),故pmax=72k-11.

變式5若k為非負(fù)實(shí)數(shù)常數(shù),a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),且滿足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(2k+10)a2+(3k+20)a3+(4k+30)a4的最大值.

解由均值不等式得:這十者相加即得

當(dāng)且僅當(dāng)a1=1,a=2,a3=3,a4=4 時(shí)取等號(hào),故a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(2k+10)a2+(3k+20)a3+(4k+30)a4的最大值為30k+235.

變式6若k為非負(fù)實(shí)數(shù)常數(shù),a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),滿足=30,求a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+(4k+30)a1+ka2+(3k+20)a3+(2k+10)a4的最大值.

提示所求最大值為30k+235,當(dāng)且僅當(dāng)a1=4,a=1,a3=3,a4=2 時(shí)取得.

4 引入?yún)?shù)并改換字母系數(shù),可以命制更有思維價(jià)值的最值問題

變式7若k≥且為常數(shù),a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),=100,求p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+(2k-9)a1+(8k-8)a2+(18k-7)a3+(32k-6)a4的最大值.

解由均值不等式得:

把這十者相加即得

當(dāng)且僅當(dāng)a1=1,a2=2,a3=3,a4=4 取等號(hào),故pmax=200k-35.

五、命題實(shí)踐

請(qǐng)你根據(jù)以下要求,設(shè)計(jì)用均值不等式解決的最值問題及其參考答案.

已知a1,a2,a3,a4為實(shí)數(shù),且滿足=67,使其取最值的條件為a1=2,a3=4,a3=3,a4=1.

可得命題如下(命制過程可參考文[1]):

p=a1a2+a1a3+a1a4+a2a3+a2a4+a3a4+ka1+(4k+26)a2+a3+(2k+7)a4的最大值為+230,其中常數(shù)k≥0.

筆者給出一個(gè)n元推廣:

題目若a1,a2,a3,···,an均為實(shí)數(shù),且滿足則的最大值為取等號(hào)條件為ai=i(i=1,2,3···,n).

六、問題拓展

題1已知a,b,c ∈R,且a+2b+3c=10,求p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值.

題2已知a,b,c,d ∈R,且a+2b+3c+4d=10,求p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值.

下面給出兩種問題的推廣證明:

命題1設(shè)ak ∈R,且滿足1≤k≤2n+1,整數(shù)n≥1,且滿足則的最小值為取等號(hào)條件為ak=(2k-1-2n).

證明注意恒等式

由柯西不等式得:

從而

當(dāng)ak=(2k-1-2n)時(shí),取最小值為

若n=1 時(shí),p=a2+b2+c2+ab+ac+bc的最小值為10,取等號(hào)條件為a=-1,b=1,c=3.

命題2設(shè)ak ∈R,且滿足1≤k≤2n,整數(shù)n≥1,且滿足則的最小值為取等號(hào)條件為ak=(k-n).

證明注意到恒等式12+22+···+(n-1)2+n2=由柯西不等式得:

若n=2 時(shí),p=a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值為5,取等號(hào)條件為a=-1,b=0,c=1.d=2.