曲徑通幽 撥云見日
——對一道解析幾何試題的探究

重慶市合川中學(xué)(401520) 黃富國 王安國 李 娟

1 試題呈現(xiàn)

題目1(2020年重慶合川中學(xué)高二上期期中考試)已知圓心在x軸的正半軸上,且半徑為2 的圓C被直線y=截得的弦長為

(Ⅰ)求圓C的方程;

(Ⅱ)設(shè)動直線y=k(x-2)與圓C交于A,B兩點,則在x軸正半軸上是否存在定點N,使得直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱? 若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解(Ⅰ)圓C的方程為(x-1)2+y2=4.

(Ⅱ)設(shè)N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由

得

所以

若直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱,則kAN=-kBN?即

化簡整理得2x1x2-(t+2)(x1+x2)+4t=0,所以

化簡整理解得t=5,所以當(dāng)點N為(5,0)時,直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱.

試題以圓為背景,考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系,探索是否存在滿足條件的定點.從改卷的結(jié)果來看,本題的校平均分只有4.38,分?jǐn)?shù)不夠理想.針對這一種情況,筆者在考后與學(xué)的生交流中,發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生不知如何將直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱這一問題情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式;有的學(xué)生雖然想到轉(zhuǎn)化,但因運(yùn)算錯誤導(dǎo)致結(jié)果錯誤.對稱、定點問題是解析幾何中的重要問題之一,有必要對此類問題進(jìn)行全面、深入的探究.

2 試題拓展

數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“解題就像采蘑菇,當(dāng)你發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時,它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后,我們對題目1 中第(Ⅱ)問作如下反思:

1.動直線y=k(x-2)與圓C交于A,B兩點,在x軸負(fù)半軸上是否存在定點N使得直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱?

2.若把動直線改為y=k(x-5),則在x軸上是否存在定點N,使得直線AN與直線BN也關(guān)于x軸對稱.

3.過圓外x軸上的點,作兩條關(guān)于x軸對稱的直線與圓相交,連接不對稱兩點的直線,則該直線是否過定點?

4.一般地,對于圓C:(x-a)2+y2=r2,過圓內(nèi)x軸上點P的直線與圓C交于A,B兩點,若在x軸上存在定點N使得直線AN與直線BN關(guān)于x軸對稱,那么P,N兩點的坐標(biāo)與半徑r之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?

為了探究以上問題的方便,不妨設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,筆者通過逐步、深入地分析,得如下結(jié)論.

結(jié)論1已知圓O:x2+y2=r2,P(t,0),Q(n,0)是x軸上不同的兩點(都異于圓心和左右頂點),過點Q的直線l與橢圓C交于A,B兩點,則直線PA,PB關(guān)于x軸對稱的充要條件是tn=r2.

證明當(dāng)直線l與x軸重合時,直線PA,PB關(guān)于x對稱,此時tn可以取任意實數(shù);當(dāng)直線l不與x軸重合時,設(shè)直線AB方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+1)y2+2mny+n2-r2=0,所以

因為

直線PA與直線PB關(guān)于x軸對稱

故

綜上,直線PA,PB關(guān)于x對稱的充要條件是tn=r2.

結(jié)論中呈現(xiàn)了直線與圓位置關(guān)系,直線與直線的對稱關(guān)系以及定點坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系,結(jié)合圖形的幾何特征,我們可從靜態(tài)和動態(tài)兩個方面對結(jié)論1 中的圖形做進(jìn)一步賞析.

圖1

從靜態(tài)方面看,在圖1中,延長PB交圓O于D,連接CD,若直線PA,PB關(guān)于x軸對稱,由圖形的對稱性,易得直線QA,QC也關(guān)于x軸對稱;反之亦成立.

圖2

從動態(tài)方面看,在圖2中,直線AB繞Q點旋轉(zhuǎn)時,若直線PA,PB關(guān)于x軸對稱,則直線QA,QC也關(guān)于x軸對稱且動直線AC過定點P;反過來,直線AC繞點P旋轉(zhuǎn)時,若直線QA,QC關(guān)于x軸對稱,則直線PA,PB也關(guān)于x軸對稱且動直線AB過定點Q.再結(jié)合圓的幾何性質(zhì),當(dāng)直線AB繞定點Q旋轉(zhuǎn)時(不重合于x軸),ΔAOQ∽ΔAOP始終成立,定點P,Q的坐標(biāo)關(guān)系也可通過如下方式證明.

圖3

證明圖3為去除坐標(biāo)軸的平面幾何圖形.連接AO并延長交圓O于D,連接BD;延長PB交圓O于C,連接AC交PO于E.因為AD為圓O的直徑,所以∠ABD=∠PEC=90°;又因為∠ADB=∠ACB,所以RtΔABD∽RtΔPCE.

因為RtΔPCE∽=RtΔPAE,所以RtΔABD∽RtΔPAE,得∠OAQ=∠APQ,又∠AOQ=∠AOP,所以ΔAOQ∽ΔAOP,故即nt=r2.

可以發(fā)現(xiàn),相比較于代數(shù)法,平面幾何法的證明過程要顯得簡潔直觀.因為解析幾何問題本質(zhì)是幾何問題,它們本身就包含一些很重要的幾何性質(zhì).如果我們可以充分利用這些幾何性質(zhì),它們其實就是純幾何問題,完全可以借助平面幾何的知識加以解決.這樣不但能避開繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,使解決問題的過程得到簡化,而且能更好地揭示問題的本質(zhì).

3 試題推廣

橢圓可由圓“壓縮”而得到,類比于圓,橢圓是否也具有類似的結(jié)論呢? 回答是肯定的.

結(jié)論2已知橢圓P(t,0),Q(n,0) 是x軸上不同的兩點(都異于橢圓的中心和頂點),過點Q的直線l與橢圓C交于A,B兩點,則直線PA,PB關(guān)于x軸對稱的充要條件是tn=a2.

證明當(dāng)直線l與x軸重合時,直線PA,PB關(guān)于x對稱,此時tn可以取任意實數(shù);當(dāng)直線l不與x軸重合時,設(shè)直線l的方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).則由得(m2b2+a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.y1+y2=因為直線PA,PB關(guān)于x對稱?kPA+kPB=0,而

故

綜上,直線PA,PB關(guān)于x對稱的充要條件是tn=a2.

橢圓、雙曲線和拋物線同屬于圓錐曲線,它們往往有相通的性質(zhì).筆者利用幾何畫板探究雙曲線和拋物線,發(fā)現(xiàn)它們也具有這一類似性質(zhì),又得下述結(jié)論.

結(jié)論3已知雙曲線P(t,0),Q(n,0) 是x軸上不同的兩點(都異于雙曲線的中心和頂點),過點Q的直線l與雙曲線C交于A,B兩點,則直線PA,PB關(guān)于x軸對稱的充要條件是tn=a2.

結(jié)論4已知拋物線C:y2=2px(p＞0),P(t,0),Q(n,0) 是x軸上不同的兩點(都異于拋物線的頂點),過點Q的直線l與拋物線C交于A,B兩點,則直線PA,PB關(guān)于x軸對稱的充要條件是t+n=0.

雙曲線的證明只需將橢圓中b2換成-b2即可,拋物線的證明方法和橢圓、圓類似,其證明過程在此不再贅述,讀者可自行證明.

上述結(jié)論體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對稱、簡潔、和諧和統(tǒng)一之美,同時它們已成為高考命題的一個藏寶庫.筆者查閱了近幾年的高考試題,發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的這一結(jié)論已考查過多次,如2013年陜西卷理科第20 題,2015年全國Ⅰ卷理科第20 題,2015年高考北京理科第19 題,2015年四川理科第20 題,2018年全國理科Ⅰ卷第19 題等.通過對圖形的對稱性進(jìn)一步分析,我們也可大膽猜想,圖像關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的曲線方程f(x2,y)=0、f(x,y2)=0、f(x2,y2)=0 也都具有這一類似結(jié)論.

4 試題變式

下面利用結(jié)論對試題進(jìn)行變式.

變式1如圖4,已知P為圓O外一點,PO為∠APB的角平分線,弦AB交PO于點Q.若|OQ|=2,|OP|=8,求圓O的半徑長?

此題與文首試題1 本質(zhì)上完全一致,固定點P,Q到圓心O的距離,把題目中的直線PA,PB關(guān)于x軸對稱,等價轉(zhuǎn)換為PO是∠APB的角平分線,從而得到一個純平面幾何題.顯然,由結(jié)論1 可得

圖4

圖5

變式2如圖5,已知橢圓過點P(4,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點,設(shè)O為原點,點M與點A關(guān)于x軸對稱,直線MB交x軸于點Q,問:y軸上是否存在點N,使得∠ONP=∠OQN? 若存在,求出N點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

此題為文首試題1 的簡單變形,把以圓為背景替換為橢圓,并設(shè)置條件A關(guān)于x軸對稱M,再結(jié)合P,Q兩點坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系,從而把試題改造為探索性、開放性試題.由結(jié)論2 和此題條件可知,Q為定點且坐標(biāo)為(1,0),若在y軸上存在N點使得∠ONP=∠OQN,則RtΔOPN∽RtΔOQN.得即|ON|2=4,故在y軸上存在點N坐標(biāo)為(0,±2).當(dāng)然,此題也可利用解析法進(jìn)行求解.

5 結(jié)束語

解析幾何問題的本質(zhì)仍是幾何問題,解題時要善于“撥云見日”,充分把握解析幾何圖形的特征,緊扣其中的關(guān)鍵幾何要素,挖掘圖形的幾何性質(zhì),恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平面幾何的相關(guān)的知識,往往能簡化運(yùn)算,優(yōu)化解題過程,能起到四兩撥千斤的功效.

波利亞曾說:與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中,提高他們的才智和推理能力.教師選定一個典型試題,引導(dǎo)學(xué)生對試題進(jìn)行拓展和推廣,并將問題引向深入,探索隱藏在題目背后的奧秘,挖掘題目的真正內(nèi)涵,找到解決這個問題與解決其他問題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會試題命制的深刻背景,才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三.在此過程中,同時培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和發(fā)散思維能力,還無形中提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).