一道解析幾何試題的多種解法及結(jié)論推廣

江蘇省無錫市第一中學(xué)(214031) 馮一成 李 楊

筆者在進行一道解析幾何問題的求解時嘗試應(yīng)用了解決此類問題的各種方法,并在解法中得到了啟示,發(fā)現(xiàn)了一些漂亮的結(jié)論,分享給讀者.

題目橢圓有兩頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1)的斜率為k的直線l與橢圓交于C,D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.

(1)略.(2) 當(dāng)點P異于A,B兩點時,求證:為定值.

一、解法賞析

解法一(設(shè)而不求,整體運算)由已知可得橢圓方程為設(shè)l的方程為y=kx+1,則點P的坐標(biāo)為又

消去y可得(2+k2x2+2kx-1=0.設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2).直線BD的方程為y=(x-1),直線AC的方程為y=(x+1),聯(lián)立兩條直線方程,可得點Q的橫坐標(biāo)為

由韋達定理可知

代入上式,可得

此法流暢自然,韋達定理的應(yīng)用符合學(xué)生認(rèn)知水平,關(guān)鍵步驟在于合理保留x1-x2部分不代換,通過整體運算,達到化簡得目的.

解法二(設(shè)而求之,求點代入)同解法一解得

通過求根公式可以得到

代入可得

此法擺脫了解法一中對于式子化簡時需要部分保留構(gòu)造對稱的要求,結(jié)合求根公式代入化簡直截了當(dāng),但是對于判別式?jīng)]有過早的代入,這是一個常用技巧,因為過早代入容易造成式子變得更為復(fù)雜影響運算的思路,同時適時的提公因式也讓運算變得更為簡單.

解法三(先猜后證,簡化運算)假設(shè)點P和點B重合,此時點Q就是點P,所以可猜出的定值為1.以下來證明下式成立:

通過變形做差可得

因此(*)成立,從而=xP xQ+yP yQ=1.

此法先猜后證,將探究題變成了證明題,目標(biāo)變得更為直接,整個運算變的更為簡單.

解法四(設(shè)點運算,局部化簡) 設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),然后求出直線方程

令y=0 解得又

則

又C,D在橢圓上,所以代入可得

此法在運算過程難度最大,其中涉及四個變量,直至最后一步依然保留四個變量,但是利用局部化簡的手段,最終得到了結(jié)果.解法四看似最為復(fù)雜,但給了筆者最大的啟發(fā),下面將思考的過程和探求的結(jié)論與讀者一起分享.

二、結(jié)論推廣

筆者發(fā)現(xiàn)在通過解法四的運算過程沒有用到直線l通過點F這一條件,只要滿足直線與橢圓相交即可,故此題應(yīng)該有更為一般的結(jié)論.從位置上看此題中P,Q兩點是橢圓的一條弦與短軸所在直線的交點,以及短軸兩個端點與弦的兩個端點的對應(yīng)連線的交點,故可一般化為

結(jié)論一若橢圓方程為=1(a＞b＞0),A,B為短軸兩端點,直線l與橢圓交于C、D兩點,并與短軸所在直線交于點P,若直線AC與直線BD交于點Q,則

簡證同解法四可解得

則

繼續(xù)思考,若將P,Q兩點變化為橢圓的一條弦與長軸所在直線的交點,以及長軸兩個端點與弦的兩個端點的對應(yīng)連線的交點可得

結(jié)論二若橢圓方程為=1(a＞b＞0),A,B為長軸兩端點,直線l與橢圓交于C、D兩點,并與長軸所在直線交于點P,若直線AC與直線BD交于點Q,則

繼續(xù)思考,在證明過程中(x1y2)2-(x2y1)2是運用了橢圓方程進行了消元得到了很好的對仗,那么,與橢圓擁有類似二元二次方程的圓與雙曲線應(yīng)該也有類似結(jié)論,于是進一步得到了

結(jié)論三圓O的半徑為r,AB為其一條弦,若直線AB與過圓心的直線l交于點P,且圓與直線l交于C,D,若直線AC與直線BD交于點Q,則

結(jié)論四若雙曲線方程為=1(a＞0,b＞0),A,B為實軸兩端點,直線l與雙曲線交于C、D兩點,并與實軸所在直線交于點P,若直線AC與直線BD交于點Q,則

繼續(xù)探索,若將上述結(jié)論中的弦的兩個端點慢慢靠近,則弦就會退化為一個點,此時結(jié)論會發(fā)生一定的變化,因為點與軸就沒有交點了,但是通過類比,筆者發(fā)現(xiàn)若弦退化為一個點,則只需將弦與軸的交點變?yōu)榍芯€與軸的交點則結(jié)論依然成立,于是得到了

結(jié)論五圓O的半徑為r,A為圓上一點,直線L過圓心O,若圓O在A處切線交直線L于P,則

結(jié)論六若A為橢圓=1(a＞b＞0)上一點,橢圓C在A處切線交長軸于P,交短軸所在直線于Q,則

結(jié)論七若A為雙曲線=1(a＞0,b＞0)上一點,若橢圓C在A處切線交長軸所在直線于P,則

結(jié)論五,六,七無論從形式還是證明過程上都變得更簡單,數(shù)學(xué)之美盡顯.

三、結(jié)語

回顧問題的研究過程,筆者發(fā)現(xiàn),若沒有對此問多種解法的探求,以及對解法內(nèi)涵的深入思考,就無法開啟思維之門,當(dāng)我們在思維之門開啟后,你就會推開后面一扇又一扇探索之門.曾有人說:“當(dāng)我們找到第一個竹筍時,你一定要再看看四周是否還有其它竹筍,因為它們往往結(jié)伴成長.”在研究數(shù)學(xué)問題時,道理是一樣的.在大膽設(shè)想,小心求證的研究態(tài)度下,我們可以嘗試通過聯(lián)想,類比,抽象,概括等多種手段,將問題從特殊推廣到一般,也許我們就能夠發(fā)現(xiàn)更多數(shù)學(xué)中美麗的結(jié)論.