概率統(tǒng)計中樣本空間芻議

◎周海林

(江蘇省泰州市南京理工大學泰州科技學院，江蘇 泰州 225300)

一、引 言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的科學樣本空間是概率中的一個基本概念，但是在概率學習中卻往往被忽視這導致在概率統(tǒng)計的教學過程中，不少學生反映學習難度大，特別是在古典概型的計算上除了思維方式與高等數(shù)學和線性代數(shù)不同外，樣本空間的選取在這些問題的解決中往往起著非常重要的作用本文對樣本空間概念及其選取進行了一些思考與總結

二、樣本空間概述

樣本空間的概念來源于統(tǒng)計學，它由統(tǒng)計學家馮·米澤斯(Von Mises，1883—1953)于二十世紀三十年代在采用集合論的觀點研究事件時引入

我們將隨機試驗的所有可能結果組成的集合稱為樣本空間，記為樣本空間的元素，即的每個可能結果，稱為樣本點一般來講，討論的問題不同，樣本空間可以很簡單，也可以十分復雜在具體問題中，給定樣本空間是描述隨機現(xiàn)象的第一步不過我們常常認為樣本空間是預先給定的這是一種必要的抽象，這種抽象不僅能讓我們更好地把握隨機現(xiàn)象的本質，而且得到的結果能更廣泛地得到應用事實上，一個樣本空間可以概括各種實際內(nèi)容不同的問題例如，只包含兩個樣本點的樣本空間，既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面、反面的模型，也能用于產(chǎn)品檢驗中出現(xiàn)“正品”及“次品”，還能用于射擊中描述“中”與“不中”等盡管問題的實際內(nèi)容如此不同，有時卻能歸結為相同的概率模型

有了樣本空間，就可以定義隨機事件隨機事件可定義為樣本點的集合，這樣，事件間的關系及運算就與集合論中集合的關系及運算完全類似概率論的重要研究課題就是計算概率，這最終都歸結為事件的概率計算

現(xiàn)代概率論建立在集合論的基礎上概率問題的復雜程度和所使用的數(shù)學工具的高低都主要取決于樣本空間的大小因此，樣本空間實際上是按集合的大小歸類的，它可分為有限集、可列集等在有限樣本空間中，概率論使用的數(shù)學工具主要是初等數(shù)學；在可列樣本空間中，要用到級數(shù)；在歐幾里得空間中，則廣泛使用微積分

作為有限樣本空間的一種特例，古典概型由法國數(shù)學家拉普拉斯在1812年提出，并把下式作為古典概率的一般定義：

上式中，事件的概率是一個分數(shù)，其分母是樣本空間樣本點的總數(shù)，而分子是事件所包含的樣本點的個數(shù)，也稱有利場合數(shù)

三、應用樣本空間計算古典概率

要成功解決古典概率計算問題，必須用合適的樣本空間來描述隨機試驗，而明確在怎樣的樣本空間下解題是第一步，也是最基本的一步因此，我們首先要把問題歸結為一個隨機試驗，明確該試驗的所有可能結果，即樣本點，然后在此基礎上給出相應的樣本空間

(一)正確寫出描述隨機試驗的樣本空間

1將一枚硬幣拋擲三次，考察出現(xiàn)正面、反面的情況

(1)設事件為“恰好出現(xiàn)一次正面”，求()；

(2)設事件為“至少出現(xiàn)一次正面”，求()

(1) 由題意知樣本空間為

={,,,,,,,}，

而={,,}

2拋擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)正面和反面各一次的概率

注：當樣本空間的元素較多時，一般不再將樣本空間中的元素一一列出，而只需分別求出樣本空間與事件中包含的元素的個數(shù)(即樣本點個數(shù))，再利用公式求出事件發(fā)生的概率

因此，在構造樣本空間計算古典概型中事件發(fā)生的概率時，需要注意每個樣本點出現(xiàn)的可能性必須是相等的這個要點稱為等可能性

(二)選擇合適樣本空間，優(yōu)化概率計算

對于同一隨機試驗，樣本點和樣本空間的選取并不唯一我們可以用不同的樣本點和樣本空間來描述隨機試驗，這取決于如何看待實驗的結果但不管用什么樣的樣本空間來描述，所關心的某一事件發(fā)生的概率應該是一樣的

3袋中有只黑球和只白球，把球隨機地一只只摸出來，求第次摸出黑球的概率(1≤≤+)

通過比較三種不同的解法，我們就會發(fā)現(xiàn)區(qū)別主要在于選取的樣本空間不同在第一種解法中，球被看成是有“個性”、有區(qū)別的，且按次序排列；在第二種解法中，則對同色球不加區(qū)別因此，第一種解法要考慮各黑球間及各白球間的順序而用排列，第二種解法不注意順序而用組合，解法三則僅僅關注第次摸球的結果，但最后都得出了相同的答案顯然，解法三中構造的樣本空間是最簡潔的，解法也是最簡單的

此外,從這個例子還可以看出，第二種解法中的每一個樣本點是由第一種解法中的!·!個樣本點合并而成的因此，樣本點的不可分性是相對的

最后，在計算樣本點總數(shù)及有利場合數(shù)時，必須在同一個樣本空間中考慮，否則會引起混淆而導致謬誤

顯然，構造不同的樣本空間，計算概率的難易程度有差別，下面再舉幾例

4袋中有只黑球和只白球，從袋中每次摸出一只球，直到袋中剩下的球全是同色為止，求袋中剩下的球全是黑球的概率

顯然，這樣可以做出來，但比較麻煩

5投擲一枚均勻的硬幣(2+1)次，求擲出的正面數(shù)比擲出的反面數(shù)多的概率

由于每次擲出正面和反面的可能性是一樣的，由乘法原理知樣本空間有22+1個樣本點本題應用組合系數(shù)雖然可以做出來，但比較麻煩

事實上，可以這樣考慮：記={擲出的正面數(shù)>擲出的反面數(shù)}，={擲出的反面數(shù)>擲出的正面數(shù)}，顯然，事件與事件處于對稱平等的位置，發(fā)生的可能性應該相等，即()=()

6袋中裝有(2-1)只白球和2只黑球，一次取出只球，發(fā)現(xiàn)都是同一種顏色，求這種顏色是黑色的概率

注：盡管對事件發(fā)生有利的樣本點與在事件發(fā)生的條件下對事件發(fā)生有利的樣本點是一樣的，但是概率的計算是在不同的樣本空間中進行的顯然，條件概率是在一個縮小的樣本空間中進行計算的

7任取一個正整數(shù)，求該正整數(shù)的平方能被5整除的概率

本題按常規(guī)思路是研究所有正整數(shù)，也就是將正整數(shù)的全體作為樣本空間，顯然，這樣的樣本空間是無限空間，也談不上等可能性這樣，它就不是一個古典概型了那么，要將它化為一個古典概型，關鍵在于如何將無限樣本空間縮減為有限樣本空間，同時滿足等可能性要求

四、應用樣本空間計算幾何概率

在前面古典概型的討論中，我們利用等可能性的概念，成功計算了這類問題的概率不過，古典概型要求樣本空間中的樣本點總數(shù)必須有限下面我們討論有無限多結果而又有某種等可能性的場合，這類問題一般可以通過幾何方法來求解不過，這種等可能性是通過下列方式來賦予意義的：落在某區(qū)域的概率與區(qū)域的測度(長度、面積、體積等)成正比，并且與其位置及形狀無關

因此，若以記“在區(qū)域中隨機地取一點，而該點落在區(qū)域中”這一事件，則其概率定義為：

在幾何概型中，若所考慮的問題只有一個因素在變，則取長度作為幾何度量；若所考慮的問題有兩個因素在變，則取面積作為幾何度量；若所考慮的問題有三個因素在變，則取體積作為幾何度量

我們不難發(fā)現(xiàn)：在幾何概型中，結果為無限不可數(shù)個，且樣本空間中的事件的概率與該事件的幾何度量成正比，而與它的位置無關這是隨機變量服從均勻分布的實際背景

8在[0,1]中任取兩個數(shù)，求下列事件的概率：

(1)兩數(shù)的和不超過15；(2)兩數(shù)的積不超過025

設兩數(shù)分別為，，則0≤≤1，0≤≤1

對于幾何概率問題，貝特朗于1899年在《概率論》一書中介紹了一個實例——貝特朗奇論，引起了大家的注意，推動了概率論的發(fā)展

(1)如果認為弦的端點等可能地落在圓周上，則一點確定后，另一點也等可能地落在圓周上以此點為頂點作一等邊三角形，顯然，只有落入此三角形內(nèi)的弦才滿足要求，這種弦的另一端跑過的弧長記為，則

注意：同一問題有三種不同的答案，細究原因，我們會發(fā)現(xiàn)在取弦時采用的等可能性假定不同三種答案針對的是三種不同的隨機試驗，對應三種不同的樣本空間，才導致有不同的計算結果但對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的

五、結束語

樣本空間是一個重要的基本概念，教師在教學中需要循序漸進地增強學生對它的理解和應用特別是在古典概型的計算上，盡管對同一問題可以用不同的樣本點和樣本空間來描述，但是對同一事件的概率計算難易程度在不同的樣本空間中會有比較大的差別其實，概率問題的復雜程度與所需要使用的數(shù)學工具主要取決于所選取樣本空間的大小顯然，上面幾個例題中最簡單的解法中所選取的樣本空間都是最小的了如果還要小的話，所求概率的事件就“裝”不進樣本空間，即所求事件不是樣本空間的子集，或者無法保證等可能性因此，抓住刻畫所求概率事件的本質特點，對與其關系不大的因素不予考慮，恰當?shù)剡x取樣本點和樣本空間，將有助于更快更容易地正確解決問題