從樣本點(diǎn)到全概率公式

白俊麗 胡勝龍 王勇

摘? 要：全概率公式是概率論中的重點(diǎn)內(nèi)容，深入理解全概率公式中的基本概念有助于正確求解相關(guān)問題. 文章通過三道全概率公式例題闡述了如何從本質(zhì)上理解這些基本概念，以及理解這些基本概念對解題的重要性.

關(guān)鍵詞：樣本點(diǎn)；樣本空間；全概率公式；分割

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0061-04

引用格式：白俊麗，胡勝龍，王勇. 從樣本點(diǎn)到全概率公式［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：61-64.

一、引言

全概率公式是概率論中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，其定義中包含概率論中的一些基本概念，對這些基本概念的準(zhǔn)確理解有助于正確使用全概率公式. 本文將從這些相關(guān)基本概念的定義出發(fā)，結(jié)合全概率公式的應(yīng)用，闡述清晰理解基本概念的重要性.

我們知道，概率論的研究對象是隨機(jī)現(xiàn)象，對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn). 我們研究的隨機(jī)試驗(yàn)是具有試驗(yàn)可重復(fù)、試驗(yàn)結(jié)果不唯一、所有試驗(yàn)結(jié)果可預(yù)見這三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn). 此外，兩個(gè)重要的基本概念是樣本空間和樣本點(diǎn).

定義1：隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件.

在具體問題中，給定樣本空間是描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步. 由以上定義可知，要寫出樣本空間，需要先不重不漏地分析出隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果. 另外，需要強(qiáng)調(diào)的是，基本事件（即只含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件）之間是互斥的. 換句話說，一次試驗(yàn)中的兩個(gè)基本事件不能同時(shí)發(fā)生. 因此，樣本空間中的元素一定是互斥的.

全概率公式是在已知樣本空間的一個(gè)分割的前提下，求該樣本空間中任一隨機(jī)事件發(fā)生的概率的重要工具. 具體描述如下.

從定義2可以看出，正確使用全概率公式的一個(gè)重要前提是給出樣本空間[Ω]的一個(gè)分割. 本文將從概率論的基本概念出發(fā)，在尋找分割的過程中體會正確理解基本概念對熟練使用全概率公式的重要性.

二、主要內(nèi)容

我們將通過相關(guān)例題，分析如何從樣本點(diǎn)這一基本概念出發(fā)，自然而然地利用全概率公式解決相關(guān)問題，從而體現(xiàn)深刻理解基本概念對熟練使用全概率公式的重要性.

1. 樣本空間的分割與樣本點(diǎn)

樣本空間與隨機(jī)現(xiàn)象緊密相關(guān)，樣本點(diǎn)是樣本空間的構(gòu)成元素，因此正確找到樣本點(diǎn)是確定隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間的關(guān)鍵.

對于問題，可以知道[ω1 ，ω2]，[ω1 ， ω2]，[ω1，ω2]，[ω1， ω2]四個(gè)事件之間是互斥的. 它們都是由一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的事件，所以都是基本事件. 而[A0]，[A1]，[A2]三個(gè)事件之間也是互斥的. 那么，這些事件也都是基本事件嗎？答案是否定的. 因?yàn)閇A1]表示“一枚硬幣擲兩次，恰好有一次正面朝上”，它包含“第一次正面朝上，第二次反面朝上”和“第一次反面朝上，第二次正面朝上”兩個(gè)基本結(jié)果，因此[A1]不是由一個(gè)樣本點(diǎn)表示的事件，即不是一個(gè)基本事件.

2. 全概率公式與樣本點(diǎn)的聯(lián)系

接下來，我們將通過三道應(yīng)用全概率公式的例題，闡述利用全概率公式求解與正確認(rèn)識樣本點(diǎn)之間的關(guān)系.

例1? 有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中裝有[6]個(gè)紅球，[4]個(gè)黑球；乙袋中裝有[5]個(gè)紅球，[3]個(gè)黑球. 這些球除顏色外無差別. 現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，再從乙袋中任取一球，求從乙袋中取到紅球的概率.

分析1：求解該題的難點(diǎn)主要來自取球分兩個(gè)階段，如果將第一階段取球的所有不同情況都考慮到，那么問題也就迎刃而解了.

對比解法1與解法2，我們會發(fā)現(xiàn)解法2中的[A1?A2]即為解法1中的[A]，解法2中的[A3?A4]即為解法1中的[A]，圖2和圖3則體現(xiàn)了樣本空間[Ω]的兩種分割之間的關(guān)系，即[Ω=A?A=A1?A2?A3?A4].

借助解法2的分析過程，也闡明了解法1的原理，學(xué)生在之后求解類似的題目時(shí)可以直接應(yīng)用簡潔的解法1，并知曉其中的道理.

由此可見，對樣本空間[Ω]的分割方式不一定是唯一的，但是組成樣本空間的樣本點(diǎn)是確定的，這可以幫助我們更好地理解題目，進(jìn)而根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)乇硎境鰳颖究臻g[Ω]實(shí)現(xiàn)高效解題.

例2? 甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一飛行物射擊一次. 設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設(shè)恰有一人射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.2]，恰有二人射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.6]，三人都射中時(shí)飛行物必墜毀. 求飛行物墜毀的概率.

分析：先寫出該題涉及試驗(yàn)的樣本空間[Ω]. 不難理解，一次完整的試驗(yàn)為三人分別完成一次射擊. 設(shè)[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”，則[Ω=A?B?C?ABC]. 但是應(yīng)該注意到，[A]，[B]，[C]，[ABC]這四個(gè)事件不能構(gòu)成[Ω]的一個(gè)分割，因?yàn)槭录A]、事件[B]和事件[C]之間不是兩兩互斥的. 事實(shí)上，事件[A]、事件[B]和事件[C]都不是基本事件. 例如，事件[A]并非一次試驗(yàn)的基本結(jié)果，它可以分解為[ABC]，[ABC]，[ABC]，[ABC]四個(gè)基本事件. 借助圖4，我們可以很容易地寫出由基本事件構(gòu)成的樣本空[Ω]的一個(gè)分割.

從該例可以看到，用基本事件分割樣本空間[Ω]對正確使用全概率公式求解問題有重要的作用. 并且對于不同的題目，樣本空間[Ω]需要根據(jù)題設(shè)條件來分割，而并非一定要用基本事件來分割.

例3? 甲、乙、丙三人同時(shí)獨(dú)立地向同一飛行物射擊一次. 設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為[0.4]，[0.5]，[0.7]. 又設(shè)甲射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.6]，甲射不中且乙射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.3]，只有丙射中時(shí)飛行物墜毀的概率為[0.1]. 求飛行物墜毀的概率.

分析：類似于例2，設(shè)[A=]“甲射中飛行物”，[B=]“乙射中飛行物”，[C=]“丙射中飛行物”. 同樣可以找到樣本空間[Ω]的一個(gè)分割，即[Ω=i=18Ri]，其中[Ri]（i =1，2，…，8）如例2中所設(shè). 但是應(yīng)該注意到在該例中條件概率[PDRi]（[D]如例2中所設(shè)）無法求解. 此時(shí)，再分析題目條件，發(fā)現(xiàn)樣本空間[Ω]不一定要由基本事件來分割，還可以由[A]（甲射中），[AB]（甲射不中且乙射中），[ABC]（只有丙射中），以及[ABC]（甲、乙、丙均射不中）進(jìn)行分割（如圖5）.

三、結(jié)論

本文討論了樣本點(diǎn)、樣本空間等概率論中的基本概念與全概率公式之間的關(guān)系. 具體而言，通過三道全概率公式的相關(guān)例題，逐步闡述了正確描述樣本點(diǎn)或樣本空間對理解及求解題目的重要性；也舉例說明了針對不同的題目，即使用基本事件分割樣本空間[Ω]無法直接求解，也有利于準(zhǔn)確利用全概率公式理解題目，進(jìn)而給出適當(dāng)?shù)膶颖究臻g[Ω]的分割. 全概率公式是概率論的基本公式之一，要深刻理解并熟練使用該公式，需要對基本概念有清晰的認(rèn)識. 同樣地，如果在理解概率論中的其他知識點(diǎn)時(shí)遇到困難，不妨也回到對基本概念的理解中來，或許會收到事半功倍的效果.

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