大概念視角下“分數(shù)指數(shù)冪”的教學(xué)與思考

摘? 要：數(shù)學(xué)大概念教學(xué)是實現(xiàn)從知識教學(xué)向素養(yǎng)培養(yǎng)轉(zhuǎn)變的有效途徑. 對于大概念視角下的“分數(shù)指數(shù)冪”教學(xué)，首先，分析教學(xué)要素提取大概念，即分數(shù)指數(shù)冪是整數(shù)指數(shù)冪的拓展，也是一種運算；其次，由大概念引領(lǐng)確定教學(xué)目標，理解冪指數(shù)范圍拓展的目的，認識數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性追求；再次，以大概念為主線，重新構(gòu)建知識框架；最后，圍繞大概念設(shè)計教學(xué)流程，使課堂教學(xué)更有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：大概念；分數(shù)指數(shù)冪；教學(xué)與思考；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0037-04

引用格式：孫磊. 大概念視角下“分數(shù)指數(shù)冪”的教學(xué)與思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（3）：37-40.

一、問題提出

數(shù)學(xué)知識的連續(xù)性和結(jié)構(gòu)性與課堂教學(xué)的片斷性和分散性，是傳統(tǒng)教學(xué)中的一對常見矛盾. 學(xué)生如果對學(xué)科知識缺乏高層次的理解，知識碎片化、記憶短期化、思維淺層化的弊端則不可避免，進而導(dǎo)致數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升困難重重.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）中指出：重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實. 大概念教學(xué)是彌補傳統(tǒng)教學(xué)短板的有效方法.

大概念是指反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它集中反映學(xué)科的本質(zhì)，是對學(xué)科知識與技能的抽象與提煉，其意義在于作為數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)點，能整合零碎的學(xué)科知識，使得課堂教學(xué)內(nèi)容更具整體性，避免碎片化教學(xué)問題. 大概念教學(xué)是指以大概念為核心組織教學(xué)的一種方式，旨在啟發(fā)學(xué)生用聯(lián)系的觀點看待數(shù)學(xué)問題，認識數(shù)學(xué)的整體性.

分數(shù)指數(shù)冪是一類重要的運算符號表征，在學(xué)習(xí)和生活中都有著廣泛的應(yīng)用. 冪指數(shù)從整數(shù)拓展到有理數(shù)，保持了指數(shù)冪的運算規(guī)律. 以往知識點教學(xué)常見的弊端是重計算、輕理解，而以大概念為核心組織教學(xué)，對于幫助學(xué)生整體構(gòu)建知識框架、認識指數(shù)冪拓展的真正意義具有一定的指導(dǎo)作用.

二、大概念教學(xué)實踐

為了實現(xiàn)由知識教學(xué)向素養(yǎng)培育的跨越，我們嘗試通過大概念教學(xué)將學(xué)科大概念滲透到教學(xué)內(nèi)部. 具體教學(xué)設(shè)計分為分析教學(xué)要素、確定教學(xué)目標、構(gòu)建知識框架、設(shè)計教學(xué)流程四個環(huán)節(jié)，如圖1所示.

1. 分析教學(xué)要素，提取大概念

大概念具有內(nèi)隱性，不容易被發(fā)現(xiàn)和理解，提取大概念的途徑也有很多，往往要綜合考慮課程標準、學(xué)習(xí)難點、知識與技能目標等要素.《標準》指出：學(xué)生通過對有理數(shù)指數(shù)冪含義的認識，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì). 其具體內(nèi)容包含：根式的含義、根式的性質(zhì)、分數(shù)指數(shù)冪的含義、分數(shù)指數(shù)冪的運算法則、分數(shù)指數(shù)冪的應(yīng)用. 從知識與技能目標來看，指數(shù)冪的拓展是為了滿足運算的需要. 同時，為了研究指數(shù)函數(shù)的需要，必須把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù). 在拓展過程中要遵循一個原則：關(guān)于[an]的運算，保持正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 完成拓展后，[an]就是一個運算對象. 指數(shù)函數(shù)刻畫了現(xiàn)實世界中一類特殊的變化規(guī)律，其性質(zhì)是指變化中的不變性、規(guī)律性，這種不變性、規(guī)律性可以從代數(shù)運算的角度去研究，而代數(shù)運算就是關(guān)于指數(shù)冪的運算. 因此，指數(shù)冪的運算性質(zhì)就是指數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì).

分數(shù)指數(shù)冪作為數(shù)學(xué)概念和運算工具，其教學(xué)過程能夠?qū)崿F(xiàn)用代數(shù)運算的方式揭示函數(shù)的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)抽象能力.

綜上所述，貫穿本節(jié)課內(nèi)容的課時大概念浮出水面，即“分數(shù)指數(shù)冪既是整數(shù)指數(shù)冪的拓展，也是一種運算”，它既是運算結(jié)果也是運算指令.

在這個大概念的引領(lǐng)下，一些教學(xué)難點迎刃而解. 例如，為什么要在學(xué)習(xí)分數(shù)指數(shù)冪前先學(xué)習(xí)根式？要知道，根式是對分數(shù)指數(shù)冪意義的詮釋，其運算又是乘方運算的逆運算，它的出現(xiàn)正是基于運算體系中的關(guān)聯(lián)性和互逆性的需求. 再如，分數(shù)指數(shù)冪是由整數(shù)指數(shù)冪拓展而來，為什么它們的意義又截然不同？舉例來說，[33]表示[3]個[3]相乘，而[313]卻不是[13]個[3]相乘？這涉及運算發(fā)展中的一個重要數(shù)學(xué)思想：擴張與因襲. 這里的擴張是指數(shù)的范圍，因襲是冪的運算性質(zhì)，其意義自然是截然不同的.

2. 確定教學(xué)目標，聚焦大概念

教學(xué)目標是教學(xué)設(shè)計的核心，教學(xué)目標定位得準確與否直接決定了課堂教學(xué)的成效. 威金斯提出的“逆向”教學(xué)設(shè)計三步驟指出：教學(xué)設(shè)計要先明確預(yù)期結(jié)果，我們的課堂應(yīng)該圍繞預(yù)期要達到的結(jié)果展開，而不是我們所擅長的教法和活動.

“分數(shù)指數(shù)冪”一課的教學(xué)分為兩個模塊：一個是概念教學(xué)模塊，其核心是理解分數(shù)指數(shù)冪的概念；另一個是運算技能模塊，其核心是能夠準確、熟練地使用根式和分數(shù)指數(shù)冪兩種運算表征進行計算和化簡. 在“分數(shù)指數(shù)冪是一種運算”這個大概念的引領(lǐng)下，可以這樣來制定教學(xué)目標：（1）從運算對象拓展的角度讓學(xué)生體會引入分數(shù)指數(shù)冪的必要性；（2）引導(dǎo)學(xué)生理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，初步掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算；（3）在探究分數(shù)指數(shù)冪的過程中，體會數(shù)與運算發(fā)展的擴張與因襲特點，為后續(xù)研究冪指數(shù)進一步拓展到無理數(shù)及復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和運算能力.

顯然，聚焦大概念的教學(xué)目標指向性明確，操作性強，避免了過多形式化運算帶來的無意義糾纏，在提升學(xué)生運算能力的同時注重其對數(shù)學(xué)的理解.

3. 構(gòu)建知識框架，內(nèi)化大概念

由于大概念是抽象的存在，往往不能直接“教”給學(xué)生，且內(nèi)化于關(guān)聯(lián)的知識模塊中，故需要將大概分解成具體的小概念，形成層次分明的概念群，并以此為框架對課時教學(xué)內(nèi)容進行梳理，將知識有序地安放在大概念的結(jié)構(gòu)框架中. 大概念本身具有的結(jié)構(gòu)分明、聯(lián)系性強的特點，使得重組后的數(shù)學(xué)知識形成了聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu)化整體.

在獲取“分數(shù)指數(shù)冪是一種運算”這個大概念以后，再來審視“分數(shù)指數(shù)冪”的教學(xué)，會發(fā)現(xiàn)所有內(nèi)容都是以運算的背景、運算的發(fā)展、運算的應(yīng)用等小概念為節(jié)點展開，從而形成了“分數(shù)指數(shù)冪”模塊的結(jié)構(gòu)化知識體系，如圖2所示.

4. 設(shè)計教學(xué)流程，落實大概念

對于“分數(shù)指數(shù)冪”這一教學(xué)內(nèi)容，人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》的編排是由實際問題引出分數(shù)指數(shù)冪的產(chǎn)生需求，先學(xué)習(xí)根式，再研究分數(shù)指數(shù)冪. 其中，分數(shù)指數(shù)冪的概念是由具體實例（如[2105=22=2105]）歸納得出，分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)則是沿襲、保持整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 如果忽視分數(shù)指數(shù)冪意義的構(gòu)建，帶來的弊端是每個知識點都沒有可靠的數(shù)學(xué)思想作為背景支撐，學(xué)生對于概念的形成缺乏認知基礎(chǔ)，會給理解根式與分數(shù)指數(shù)冪的意義帶來困難，容易使學(xué)習(xí)過程變成運算的形式化訓(xùn)練.

從[n]次方根到分數(shù)指數(shù)冪，將問題情境調(diào)整為以運算與數(shù)的發(fā)展為統(tǒng)一的大背景，從數(shù)學(xué)擴張與因襲的角度感知指數(shù)域擴充的必要性，并在滿足運算性質(zhì)不變的背景下深刻理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，能更好地發(fā)揮這一內(nèi)容對培養(yǎng)學(xué)生推理能力的作用和意義. 因此，教學(xué)內(nèi)容應(yīng)聚焦在“分數(shù)指數(shù)冪的運算”，對應(yīng)的教學(xué)流程可以設(shè)計為：反思經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)根式—個例演算、歸納性質(zhì)—立足性質(zhì)、擴張指數(shù)—聯(lián)系實際、技能訓(xùn)練. 基于大概念的教學(xué)設(shè)計，需要教師將大概念落實到特定情境和具體問題中去，引導(dǎo)學(xué)生從知識、技能的學(xué)習(xí)走向方法的遷移和思想的創(chuàng)新.

（1）以運算互逆性為背景，基于經(jīng)驗的探索.

問題1：回顧過去學(xué)習(xí)運算和數(shù)的歷程，加法的逆運算是減法，負數(shù)的引入實現(xiàn)了加、減法的統(tǒng)一；乘法的逆運算是除法，分數(shù)的引入實現(xiàn)了乘、除法的統(tǒng)一. 乘方的逆運算是開方，引入怎樣一種運算，才能把開方也表示成乘方，實現(xiàn)乘方與開方的統(tǒng)一？

問題1是本節(jié)課的初始問題，也是核心問題.

問題2：如何定義乘方的逆運算？從下面的問題入手，嘗試歸納猜想.

如果[x2=a，] 那么[x]叫作[a]的平方根（即[2]次方根）. 例如，[±22=4]，[±2]就叫作[4]的[2]次方根；如果[x3=a，] 那么[x]叫作[a]的立方根（即[3]次方根）. 例如，[23=8]，[2]就叫作[8]的[3]次方根. 以此類推，[±24=16]，[±2]就叫作[16]的? ? ? ? ；[-25=-32]，[-2]就叫作[-32]的? ? ? ? .

師生活動：對問題進行探究，并推廣到一般，得出結(jié)論，即如果[xn=a，] 那么[x]叫作[a]的[n]次方根，其中[n>1]，且[n∈N?].

問題3：已知[xn=a][n∈N?，n>1]，求[x].

師生活動：學(xué)生以小組為單位制訂研究策略，教師給予建議與指導(dǎo). 最終確定先分別探討當[n]為奇數(shù)和偶數(shù)時，對于正數(shù)、負數(shù)、[0]的[n]次方根的值，再歸納整合研究策略.

問題4：[n]為奇數(shù)時，[xn=a]，求[x].

師生活動：學(xué)生例舉不同實數(shù)的奇次方根，計算結(jié)果，并在教師的指導(dǎo)下通過歸納獲得初步結(jié)論，即① 正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)，② 負數(shù)的奇次方根是一個負數(shù)，③[0]的奇次方根是[0].

問題5：[n]為偶數(shù)時，[xn=a]，求[x].

師生活動：類比前面的研究方法，學(xué)生例舉不同實數(shù)的偶次方根，計算結(jié)果，歸納結(jié)論，教師進行總結(jié)評述.

在此基礎(chǔ)上，師生用符號語言描述出問題3中方程的解[xn=ax=an，n為奇數(shù)，x=±an，n為偶數(shù)，且a≥0.]

教學(xué)思考：導(dǎo)入情境的設(shè)計主要服務(wù)于知識點的引入，從知識的關(guān)聯(lián)性來看，[n]次方根是分數(shù)指數(shù)冪的另一種表達方式，體現(xiàn)了同一運算在側(cè)重點不同時的多樣化表征；從知識架構(gòu)來看，[n]次方根是本節(jié)課教學(xué)的一個過渡概念，它指明了知識發(fā)展的規(guī)律和方向. 本節(jié)課以“分數(shù)指數(shù)冪是一種運算”為主線尋找知識發(fā)生的源頭，開方是乘方運算的逆運算，也就是相同因數(shù)累乘的逆向過程：[an]表示[n]個相同因數(shù)[a]相乘的結(jié)果，[an]則表示一個數(shù)，以這個數(shù)作為因數(shù)能將[a]平均分成[n]個因數(shù)的乘積. 這樣設(shè)計導(dǎo)入情境在使學(xué)生更自然地接受問題的同時，也為后續(xù)研究指明了方向：根式運算的性質(zhì)有哪些？運算的表征如何簡化？等等. 伴隨后續(xù)新知的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠同步實現(xiàn)以運算為核心的數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建. 因此，創(chuàng)設(shè)合適的導(dǎo)入情境應(yīng)該建立在對知識的全面理解與掌握之上.

（2）以個例演算為載體，基于實例的歸納.

問題6：[n]次方根有哪些性質(zhì)？

師生活動：教師組織學(xué)生運用所學(xué)知識求具體根式的值，并解釋含義，進而基于解答過程總結(jié)規(guī)律，歸納出根式的一般性質(zhì). ①[ann=][a]；②[ann=a，n為奇數(shù)，a，n為偶數(shù).]

教學(xué)思考：美國著名教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認為，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么. 要深刻理解抽象的數(shù)學(xué)概念需要依托具體的載體，這些載體應(yīng)該是學(xué)生已經(jīng)熟悉并且牢固掌握的知識. 同時，考慮到學(xué)生對于數(shù)學(xué)的思考往往來自于個別范例和具體活動，故將根式性質(zhì)的講解放到根式求值的練習(xí)之后，這樣更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理. 一方面，體現(xiàn)出性質(zhì)可以簡化運算，也來源于運算的理念；另一方面，是對以往教學(xué)中重計算、輕理解的一種矯正. 美國著名教師德·鮑拉認為，教重要的在于聽，學(xué)重要的在于說. 在學(xué)生解決運算問題后，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)性質(zhì). 這個過程也是學(xué)生鞏固所學(xué)、理解新知，提高自我效能感，形成嚴謹、求真、求實的思維品質(zhì)和精神的過程.

（3）以運算性質(zhì)為工具，基于矛盾的釋疑.

問題7：正整數(shù)冪有哪些運算性質(zhì)？指數(shù)取值范圍有何要求？

問題8：初中階段我們是如何引入負整數(shù)指數(shù)冪和[0]指數(shù)冪的？指數(shù)域由正整數(shù)擴充到整數(shù)會帶來哪些好處？

知識回顧：正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).

（1）[am ? an=am+n m，n∈Z]；

（2）[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]；

（3）[amn=amn m，n∈Z]；

（4）[abn=anbn n∈Z]；

（5）[abn=anbn n∈Z].

如果去掉[am÷an=am-n a≠0，m，n∈Z，m>n]中[m>n]的約束條件，運算會產(chǎn)生矛盾：取[m≤n]，等式左邊有意義，等式右邊卻不能用正整數(shù)冪來表示，負整數(shù)指數(shù)冪和[0]指數(shù)冪的引入恰好化解了這個矛盾. 取[m=n]，可得[a0=am÷am=1]；取[m=0，n=1]，可得[a-1=a0÷a1=1a].

問題9：進一步取消整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)中關(guān)于指數(shù)的限制，當指數(shù)取分數(shù)時該如何賦予其意義？

師生活動：揭示矛盾，在公式[amn=amn]中，取[m=12，n=2]，等式的右端有意義，但是等式的左端不能用整數(shù)冪來表示；認識分數(shù)指數(shù)冪中規(guī)定底數(shù)[a>0]的必要性；賦予分數(shù)指數(shù)冪[amn a>0，m，n∈Z]的意義；類比負整數(shù)指數(shù)冪的意義，得到負分數(shù)指數(shù)冪的意義；了解整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對分數(shù)指數(shù)冪同樣適用.

教學(xué)思考：分數(shù)指數(shù)冪是指數(shù)冪拓展過程中的一個節(jié)點，初中階段學(xué)生經(jīng)歷過指數(shù)冪由正整數(shù)向整數(shù)拓展的學(xué)習(xí)過程，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪的意義來自冪的運算性質(zhì)中指數(shù)取值范圍的拓展. 高中階段指數(shù)冪由整數(shù)拓展到有理數(shù)的學(xué)習(xí)過程完全可以延續(xù)學(xué)生初中階段的探究方式，讓學(xué)生體會指數(shù)數(shù)域拓展的歷程始終離不開冪運算性質(zhì)的框架. 這樣的設(shè)計不僅將分數(shù)指數(shù)冪的意義建立在了學(xué)生熟悉的整數(shù)冪的運算性質(zhì)上，更為后續(xù)將指數(shù)域拓展到無理數(shù)的學(xué)習(xí)提供了方法支持. 本節(jié)課教學(xué)最大的難點是分數(shù)指數(shù)冪的運算，學(xué)生面對稍微復(fù)雜一些的指數(shù)冪運算很容易出錯.“難”的根本原因在于以往教學(xué)中對分數(shù)指數(shù)冪的形成過程不夠關(guān)注，過分強調(diào)分數(shù)指數(shù)冪的形式化運算訓(xùn)練，學(xué)生往往強行記憶結(jié)論而缺乏應(yīng)變能力. 因此，為了充分發(fā)揮這一內(nèi)容的育人價值，通過溯源分數(shù)指數(shù)冪的“出身”，揭示數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的脈絡(luò)，帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的歷史價值是非常有必要的.

（4）以多場景應(yīng)用為抓手，基于技能的訓(xùn)練.

問題10：分數(shù)指數(shù)冪在實際生活、運算化簡中有哪些應(yīng)用？

師生活動：結(jié)合具體生活案例和根式化簡過程感受分數(shù)指數(shù)冪在生活和數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價值.

教學(xué)思考：數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)過程包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果. 數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的過程，需要教師做好整體規(guī)劃，并落實到每節(jié)課的教學(xué)中. 就“分數(shù)指數(shù)冪”這節(jié)新授課的教學(xué)而言，對分數(shù)指數(shù)冪意義的理解是重中之重，筆者在教學(xué)設(shè)計中花了大量時間對運算的發(fā)展過程進行梳理. 為了讓學(xué)生加深對分數(shù)指數(shù)冪意義的理解，并能夠通過多種運算場景體會分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，本節(jié)課的例題選擇雖然在數(shù)量上有所精簡，但是類型多樣，更有助于學(xué)生對運算的全面認識.

三、結(jié)語

《標準》指出： 數(shù)學(xué)課程的構(gòu)建應(yīng)“突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法”. 大概念作為貫穿整個數(shù)學(xué)教學(xué)過程的核心，不僅要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點，更要為學(xué)生后續(xù)更高層次的學(xué)習(xí)提供必要的基礎(chǔ). 為了在教學(xué)中精準抓住大概念，需要教師深入數(shù)學(xué)知識內(nèi)部，準確把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，捋順數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，突出數(shù)學(xué)知識中蘊含的思想方法. 本節(jié)課的教學(xué)以“分數(shù)指數(shù)冪是一種運算”這一大概念為主線進行設(shè)計，切實發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

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