弦角定理

朱圣輝

[摘 要]弦角定理主要用于轉(zhuǎn)換角與弦直間的關(guān)系，貫穿微積分領(lǐng)域，突破了現(xiàn)未達(dá)到的數(shù)學(xué)技術(shù)，是一次泰勒定理偉大的革新和完善。

[關(guān)鍵詞]弦角；分割；角度關(guān)系；數(shù)列的極限；函數(shù)的邊值

中圖分類號(hào)：O17-4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2016）09-0237-01

把圓的圓心設(shè)為O點(diǎn)，且要求把等腰三角形的角頂在O點(diǎn)上，另外圓內(nèi)等腰三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)交于圓上，分別為A.，C。由于圓的坡度可大可小，從而導(dǎo)致不能2線成比例，造成數(shù)量的變化，比例不同，以致分割圓，可以把等腰三角形不斷地分割下去。

設(shè)等腰△AOC的頂角為α，半徑為R，從而求的α所R與圓弧的大小L=nπr2/2 ，作OB⊥CA（CA的垂直平分線），即垂直平分線交于圓上于B點(diǎn)，平分⌒CA。B點(diǎn)交于圓上，連接BC，AB，再作CB，AB的垂直平分線，交于圓上點(diǎn)D，F(xiàn)；繼而作CD，DB的垂直平分線，交于G，E，也就是可以把等腰三角形不斷地分割下去，不斷分割等腰三角形的等腰讓垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)交于圓，又不斷連接這條腰的兩端，反復(fù)這樣地連接下去，以使⌒COA內(nèi)的等腰三角形面積的總和接近扇形AOC的面積。

設(shè)AD為X，因?yàn)镺A=R，，CD=ABX，OB又為等腰三角形OCA，CA邊的垂直平分線。

∴Op=√r2-x2

得PB=R-√r2-x2

∵CP=X，PB=r-√r2-x2

得到CB=√cp2+pΒ2=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2

∵等腰三角形ABC有二條腰且等長(zhǎng)，且在⌒CDB 與 ⌒ ABf 中各有一個(gè)等腰三角形

∴sΔCDB+sΔΒfΑ=2sΔcDΒ=BC×QD=[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]×﹛r-√r2-√x2+[﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

∵作為等腰△CDB的兩腰的垂直平分線，會(huì)交于圓G，E.

∴需要把DB作為底邊，則△DEB=DB﹒Q2E﹒1/2

根據(jù)海倫公式求出S△ADC的面積

其中P= r+x S△ABC=x﹙r-√r2-x2﹚

∴S= nπr2/360°- x﹙r-√r2-x2﹚ 而又有S△ABC=[√﹙r+x﹚x 2﹙r-x﹚]+xr

即扇形OAC中的面積減去S△ABC的面積為S值，是S值接近于S△AOC的值

已知2S△CDB=√x2+﹙r-√r2-x2﹚2+﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

已知ODB，則有DW=WB=DB/2=﹛√﹛r-√r2-[√x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜＼2

而OW=√oB2-wB2=√r2-﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/4﹜/4

∵W為OE上一點(diǎn)

∴WE=R-OW

∴4S△DBE=DB×WE/2×4=2DB×WE

∴4S△DBE=2DB×WE=﹛√﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜2+[x2+﹙r-√r2-x2﹚﹛r-√r2-√[x2+﹙r-√r2-x2﹚2]/2﹜

將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得

即當(dāng)設(shè)a1=x√r2-x2，a2= x﹙r-√r2-x2 ﹚，而a3= s△CDB，a4= 4S△DBE……

∵OA=r， AC=2x

而從計(jì)算中可以表明。數(shù)列 是項(xiàng)數(shù)幾的函數(shù)，a1的根眼是函數(shù)極限的特例，設(shè)a2為首項(xiàng)。

∵CA為X2，XB為Y2，把△ABC作為參照物，CA=2X

∴pB=r-√r2-﹙AC2﹚2

又設(shè)CB為X3，DQ為Y3，把△CDB作為參考的，DQ= r-√r2-﹙BC2﹚2

∴綜上所述，有yn= r-√r2-﹙xn2﹚2

1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出一個(gè)直徑為2R，圓心為（O，O）的圓；

2）取底邊上兩點(diǎn)，分相在相對(duì)應(yīng)得圓弧上作中點(diǎn)，即取a2的三個(gè)頂點(diǎn)，作出曲線，底邊為直線的大致圓象；

3）借助圓形確定被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上，下限；

4）拋物線與圓圍成的面積表示成若干個(gè)定積分的和；

5）計(jì)算并求出結(jié)果。

∵圓心的坐標(biāo)是（O，0）圓的半徑為R，QA=X

∴A（X，-√R2-X2） B（-R，O） C（-X，- √R2-X2）

∵拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，且設(shè)Y=aX2A+Bxa+C

∴aX2+Bx+c=-√R2-X2

aR2-Br+C=0

aX2-Bx+c=-√R2-X2

解得：a1=√R2-X2∕R2-X2 b=0-b1=c=-R2√R2-X2R2-X2

故拋物線的方程是Y=xA2（√R2-X2）/（R2-X2）-R2（√R2-X2）/（R2-X2）

但拋物線與直線所圍成的面積不能使弦角公式非常精確，于是的設(shè)拋物線B，C，D主點(diǎn)，且設(shè)Y=a2XA2+b2XA+C

其中D2為CQ中點(diǎn)，D3為CB的中點(diǎn)，作D3D2的反向延長(zhǎng)線交圓弧于D1點(diǎn)，作D1D4⊥oB

D1（-X/2，-√R2-（X/2）2B（-R，O）C（-X，-√R2-X2）

∴（X/2）2a-Xb/2+C=-√R2-（X/2）2

Ar2-Br+C=0

aX2-Bx+C=-√R2-X2

∴a（R2-X2）+b（-R+X）=√R2-X2

a（R2-X2/4）+b（-R+X/2）=√R2-（X/2）2

解得：a2=[√R2-X2+b（R2-X2） ] /（R2-X2）

b2=﹛√r2-﹙x2﹚2（r2-X2）-[r2-﹙x2﹚] 2 √（r2-X2）﹜/﹛[r2-﹙x2﹚] （R-X﹚+（-R+X2）（R2-X2）

c2=b2r-a2r2

∵有兩點(diǎn)B（-R，O）和C（-X，- √R2-X2），且（Ya-y1）/（y2-y1）=（xA-x1）/（x2-x1）

Ya=（xA+R）√R2-X2）/R-X=（xA+R）√R2-X2） /R-X=（XA（√R2-X2）/（R-X））+ （√R2-X2）/（R-X）=>a3=（√R2-X2） /R-Xb3=（R√R2-X2）/R-X

當(dāng)-x﹤XA﹤0時(shí)

∵直線y=Xaa3+b3在曲線y=a2X2A+b2XA+C的上方

∴∫0-X{a3XA+b3-（a2X2A+b2X2A+C）dx

=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X2A+（b3-C）}dx

=∫0-X{（a3-b2）XA-a2X2A+（b3-C）}dx

={（a3-b2}/2）X2A-（a2/3）X2A+（b3-C）XA）|0-X

=-x2（a3-b2）/2--（a2/3）X2+（b3-C）X

∴Limsn=nπR2/360°，sn=x1y12+x2y22+{-（（a1-b1）/2）x2-（a2/3）X2+（b1-c）X}

n→+∞

關(guān)于弦角公式的應(yīng)用：

1.求反正弦函數(shù)，反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)的值；

2.利用π= arctan2+ arctan1/5+ arctan1/8求π的值；

3.求根號(hào)值，√X， 3√X，4√X……x√X的值；

4.適用于人工計(jì)算和計(jì)算機(jī)計(jì)算，求角求根號(hào)值；

5.利用分割法或多倍角得sin1度，求正弦值；

6.解高次方程，求零點(diǎn)。