緊扣出發(fā)點(diǎn)撥動(dòng)思維琴弦

【摘要】教學(xué)蘇教版四下《多邊形的內(nèi)角和》時(shí)，教師可以讓學(xué)生在操作、觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)求多邊形內(nèi)角和的數(shù)學(xué)模型，感悟抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將分割的起點(diǎn)由多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)平移到多邊形內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)，再移到多邊形邊上的某個(gè)點(diǎn)，這有助于拓寬學(xué)生的思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)，提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】起點(diǎn)；分割；推想；建構(gòu)；核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2017）01-0054-03

【作者簡(jiǎn)介】馮桂群，江蘇省南通師范第一附屬小學(xué)朝暉校區(qū)（江蘇南通，226001）教師，高級(jí)教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

【課前慎思】

《多邊形的內(nèi)角和》是蘇教版四下的內(nèi)容，目的是讓學(xué)生通過觀察、操作、歸納、類比等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。這節(jié)課是在學(xué)生認(rèn)識(shí)了三角形內(nèi)角和等于180°，了解了多邊形基本特征的基礎(chǔ)上教學(xué)的。教材重點(diǎn)是讓學(xué)生用分割法將一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形，把求多邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化成求若干個(gè)三角形內(nèi)角總和的問題，進(jìn)而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與多邊形邊數(shù)之間的關(guān)系，獲得計(jì)算多邊形內(nèi)角和的一般方法，從而使他們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟類比、歸納、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，初步形成問題意識(shí)、探索意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在于如何巧妙地用最少的次數(shù)將一個(gè)多邊形分割成若干個(gè)三角形。筆者這樣解讀學(xué)習(xí)難點(diǎn)的依據(jù)是四年級(jí)上冊(cè)期末測(cè)試中的一道題：三角形的內(nèi)角和是180°，五邊形的內(nèi)角和是多少度？筆者在批閱試卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生算出五邊形內(nèi)角和大于正確值540°。經(jīng)過調(diào)查，筆者了解到，學(xué)生不是不會(huì)將五邊形分割成三角形，而是受之前畫正五邊形的對(duì)稱軸和畫長(zhǎng)方形的對(duì)角線等作圖活動(dòng)的影響，將五邊形分割成了3個(gè)以上三角形。其實(shí)，最簡(jiǎn)單的分割方法是從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，依次和與它不相鄰的頂點(diǎn)連接起來，即分割2次得到3個(gè)三角形。因此，選擇好分割的出發(fā)點(diǎn)并使分割次數(shù)最少是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，巧妙地利用學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)促進(jìn)模型建構(gòu)和實(shí)現(xiàn)適度拓展是教師教學(xué)的重點(diǎn)。筆者在多次試教與修改后，形成了以下較為流暢和深入的教學(xué)實(shí)踐。

【課堂教學(xué)】

一、樂玩游戲，激趣生疑

師：孩子們，喜歡玩游戲嗎？下面我們就來玩一個(gè)想象的游戲。請(qǐng)你們閉上眼睛，想象出兩個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間只能畫幾條線段呢？

生：1條。

師：如果平均地對(duì)這條線段切一刀，線段會(huì)被分成幾小段？

生：2段。

師：如果平均地對(duì)這條線段切2刀，會(huì)得到3段；平均地切3刀，就得到4段……如果將切成的3條線段首尾相接，圍成的圖形是三角形；4條線段首尾相接，圍成的是四邊形；5條線段首尾相接，圍成的是五邊形……

師：睜大眼睛仔細(xì)看，6條線段首尾相接，圍成了六邊形。請(qǐng)你想一想，至少要幾條線段首尾相接才能圍成封閉圖形？

生：3條，圍成三角形。

師：三角形的內(nèi)角和是多少度？

生：是180°。

師：你想知道多邊形的內(nèi)角和怎樣計(jì)算嗎？今天我們就一起來研究“多邊形的內(nèi)角和”。（板書課題）

二、優(yōu)化方法，探索規(guī)律

1.嘗試解決，形成方法。

先從簡(jiǎn)單的四邊形入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究。具體的做法是：為學(xué)生提供四邊形紙片，讓他們想辦法求出四邊形的內(nèi)角和，并將思路標(biāo)注在紙片上。然后讓學(xué)生在四人小組里交流，并做好上臺(tái)展示的準(zhǔn)備。

2.小組合作，展示成果。

學(xué)生就上述問題進(jìn)行匯報(bào)。

師：你們真能干，想到了好多方法。為什么有的同學(xué)用180°乘2來計(jì)算四邊形的內(nèi)角和？

生：因?yàn)樗倪呅慰梢苑殖?個(gè)三角形，而三角形的內(nèi)角和是180°。

師：把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，然后利用已知推想出未知。你們真厲害！

師：將四邊形最少分割幾次就分成了2個(gè)三角形？

生：一次。

師：這最少的一次不僅可以從圖上看出來，還可以根據(jù)四邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)推算出來。如果以四邊形的某個(gè)頂點(diǎn)為出發(fā)頂點(diǎn)，只要向哪些頂點(diǎn)畫分割線就行了？

生（做手勢(shì)）：相對(duì)頂點(diǎn)。

師：四邊形的出發(fā)頂點(diǎn)有幾個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)？最少要分割幾次？你能列式算出來嗎？

生：4-3=1（次），這里的3是指出發(fā)頂點(diǎn)和它的2個(gè)相鄰頂點(diǎn)。

師：看來，四邊形不管以哪個(gè)頂點(diǎn)為出發(fā)頂點(diǎn)，每個(gè)出發(fā)頂點(diǎn)都只有1個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，所以最少要分割1次，算式是4-3=1（次）。而分得的三角形個(gè)數(shù)比分的次數(shù)多1，列式表示就是1+1=2（個(gè)）。所以四邊形的內(nèi)角和是180°×2=360°（如圖1）。

三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型

1.研究五邊形和六邊形的內(nèi)角和。

師：由此大膽地推算一下，五邊形以某個(gè)點(diǎn)為出發(fā)頂點(diǎn)，它有幾個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)？最少分幾次就能得到一些三角形？六邊形呢？好，下面就請(qǐng)大家先獨(dú)自分一分、算一算，再與同桌交流。

展示過程略。

小結(jié)：分割前要選好出發(fā)頂點(diǎn)，然后找它的相對(duì)頂點(diǎn)。有幾個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，就要分割幾次。分割得到三角形個(gè)數(shù)比分割次數(shù)多1。

反思：剛才通過畫圖與計(jì)算，我們成功地求出了四邊形、五邊形和六邊形的內(nèi)角和。難怪?jǐn)?shù)學(xué)家華羅庚說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

2.研究其他多邊形的內(nèi)角和。

師：借助數(shù)形結(jié)合，你還想研究其他多邊形的內(nèi)角和嗎？我們來分工合作，一、二大組研究七邊形，三、四大組研究八邊形。

生1（上臺(tái)演示）：我將七邊形最少分4次得到了5個(gè)三角形（如圖2），求七邊形的內(nèi)角和可以這樣列式：7-3=4（次），4+1=5（個(gè)），180°×5=900°。

生2（上臺(tái)演示）：我將八邊形最少分5次得到了6個(gè)三角形（如圖3），八邊形的內(nèi)角和可以這樣列式：8-3=5（次），5+1=6（個(gè)），180°×6=1080°。

3.列表、觀察，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式。

師：我們借助數(shù)形結(jié)合求出了好幾個(gè)多邊形的內(nèi)角和，得出的數(shù)據(jù)中是不是隱藏著什么規(guī)律呢？為了便于觀察和研究，我們可以通過列表來整理、研究數(shù)據(jù)。

學(xué)生報(bào)數(shù)據(jù)，教師填下表。

師：請(qǐng)大家觀察列表，在4人小組里交流觀察到的規(guī)律。

生：多邊形的邊數(shù)減3得到分割次數(shù)，分割得到三角形的個(gè)數(shù)比分割次數(shù)多1，所以分割得到三角形的個(gè)數(shù)可以用“邊數(shù)-3+1”來算，“-3+1”連起來看就是“-2”。

師：分割的三角形的個(gè)數(shù)知道了，再乘180°，多邊形的內(nèi)角和就算出來了。所以，計(jì)算多邊形的內(nèi)角和的公式是什么？（板書：多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2））

師：利用計(jì)算公式求多邊形的內(nèi)角和，感覺真方便。數(shù)學(xué)規(guī)律可以讓復(fù)雜的問題迎刃而解，這就是數(shù)學(xué)的神奇魅力。

四、反思總結(jié)，靈活拓展

拓展1：根據(jù)乘法分配律，“多邊形的內(nèi)角和=180°×（邊數(shù)-2）”還可以變形。即，多邊形的內(nèi)角和=180°×邊數(shù)-360°。這一公式除了根據(jù)定律推算出來，還可以畫出來。請(qǐng)同學(xué)們觀看圖4，如果將分割四邊形的出發(fā)點(diǎn)由某個(gè)頂點(diǎn)移到圖形內(nèi)的任意一點(diǎn)，它有4個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，以它為出發(fā)點(diǎn)，可以將四邊形分成4個(gè)三角形，4個(gè)三角形的內(nèi)角和是4乘180°。顯然，這4個(gè)三角形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多中間的4個(gè)角，一共是360°，所以要求四邊形的內(nèi)角和就要再減去360°。

拓展2：除了從頂點(diǎn)或圖形內(nèi)的某一點(diǎn)出發(fā)，還可以從邊上的某一點(diǎn)出發(fā)，向和它相對(duì)的頂點(diǎn)作分割線，會(huì)得到3個(gè)三角形（如圖5）。這3個(gè)三角形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和要多，多的角就是邊上的180°，所以用180°×3-180°=360°。回顧以上3種分割方法，可見，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要追求一題多解，更要講究算法的優(yōu)化。

【教后反思】

1.緊扣分割多邊形的出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生將分割圖的直觀經(jīng)驗(yàn)提升到理性高度。

借助研究三角形內(nèi)角和、畫圖形的對(duì)角線或?qū)ΨQ軸的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自然想到了用量、分、撕等方法來求四邊形的內(nèi)角和。在算法的對(duì)比求優(yōu)中，筆者借助出發(fā)頂點(diǎn)、相鄰頂點(diǎn)和相對(duì)頂點(diǎn)三者之間的位置關(guān)系，讓學(xué)生明白了四邊形中的某個(gè)頂點(diǎn)只有一個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，所以將四邊形分割成三角形，最少只要分割一次，巧妙避開了畫2條對(duì)角線來分割四邊形的情況，并為后面的思維拓寬與深化埋下了伏筆。

2.緊扣分割多邊形的結(jié)果，讓學(xué)生在列表和觀察中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

借助“從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，用最少的次數(shù)將多邊形分成幾個(gè)三角形”這一問題，筆者不僅將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)掌握的求幾個(gè)三角形內(nèi)角總和的問題，滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，更主要的是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，感悟到抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想。

3.緊扣出發(fā)點(diǎn)的位置變化，讓學(xué)生在思維拓展中感受數(shù)學(xué)思維的靈活多變。

英國(guó)教育家懷特海說：“教育需要解決的問題就是使學(xué)生通過樹木看見森林。”引導(dǎo)學(xué)生將分割的起點(diǎn)由多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)平移到多邊形內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)，再到多邊形邊上的某個(gè)點(diǎn)，不僅綜合運(yùn)用了平移、乘法分配律、畫圖等已有知識(shí)，還巧妙地拓展了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識(shí)，為學(xué)生進(jìn)入初中后深入地研究多邊形的內(nèi)角和埋下了活思、活學(xué)、活用的種子，真正提升了他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學(xué)版＼2017＼01＼KT1.TIF>