作差法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的功效

◇　甘肅　田　廣

(作者單位：甘肅省武山縣馬力中學(xué))

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作差法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的功效

◇甘肅田廣

當(dāng)遇到含有前n項(xiàng)和Sn或若干項(xiàng)和的數(shù)列題目時(shí),我們經(jīng)常通過(guò)將和式少寫或者多寫1項(xiàng),再將二者整體相減,只剩下第n項(xiàng)或n-1項(xiàng),這樣就得到相應(yīng)的遞推關(guān)系式,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題.但有時(shí)得不到我們想要的遞推公式,怎么辦?再作差,直到得到我們想要的關(guān)系式．

1　1次作差可將多余項(xiàng)的干擾整體消除

2　2次作差可以獲得相鄰2項(xiàng)的遞推關(guān)系

2式相減,得

即

所以

化簡(jiǎn)得

又

3　明確目標(biāo)盡顯“作差”的奇特效果

3Sn-1=nan-1+n(n-1)(n≥2).

2式相減,得

nan-1=(n-2)an+2n(n≥2),

(n-1)an-2=(n-3)an-1+2n-2(n≥3).

2式相減,得

(2n-3)an-1=(n-2)an+(n-1)an-2+2(n≥3).

嘗試構(gòu)造數(shù)列,得

(n-2)an-1+(n-1)an-1=(n-2)an+(n-1)an-2+2.

適當(dāng)調(diào)整,得

(n-1)(an-1-an-2)=(n-2)(an-an-1)+2,

(n-2)(an-2-an-3)=(n-3)(an-1-an-2)+2.

2式相減,得

(2n-4)(an-1-an-2)=

(n-2)(an-an-1)+(n-2)(an-2-an-3),

化簡(jiǎn),得

2(an-1-an-2)=(an-an-1)+(an-2-an-3)(n≥4),

所以數(shù)列{an-an-1}是等差數(shù)列,且an-an-1=a2-a1=6-2=4,所以an=2+(n-1)4=4n-2．

(2n-4)(an-1-an-2)=

(n-2)(an-an-1)-(n-2)·(an-2-an-3),

即2(an-1-an-2)=(an-an-1)+(an-2-an-3).根據(jù)等差中項(xiàng)可以判斷數(shù)列{an-an-1}是等差數(shù)列．本題雖然是經(jīng)歷3次作差,但是每次作差都有目的和方向,并不是盲目作差．

(作者單位：甘肅省武山縣馬力中學(xué))